《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

10. (2024·兰州五十四中中期中)如图，小明的奶奶家 $ C $ 在公园 $ A $ 的正北方向处，从公园到奶奶家需要走一条弯路才能到达。小明从公园出发，先沿北偏东 $ 57^{\circ} $ 方向行走到 $ B $ 处，再转弯沿北偏西 $ 33^{\circ} $ 方向走一段才能到达奶奶家，则转弯处 $ \angle ABC $ 的度数为90°。
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答案： 90°

11. 某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，七年级上午 $ 11:35 $ 放学，此时钟表上时针与分针的夹角是137.5°。

答案： 137.5°

12. 如图，已知 $ \angle AOB = 60^{\circ} $，射线 $ OC $ 在 $ \angle AOB $ 的内部，且 $ \angle AOC = 2\angle BOC $。
(1) $ \angle BOC $ 的度数为20°。
(2) 射线 $ OD $ 是平面上绕点 $ O $ 旋转的一条动射线，$ OE $ 平分 $ \angle COD $。
① 若射线 $ OD $ 在 $ \angle AOC $ 的内部，且 $ \angle COE + \angle BOD = 65^{\circ} $，求 $ \angle COE $ 的度数。
② 若 $ \angle AOD = \alpha (0^{\circ} \lt \alpha \lt 40^{\circ}) $，直接写出 $ \angle BOE $ 的度数(用含 $ \alpha $ 的式子表示)。

答案：
(1)20°
(2)①如图，
∵射线OD在∠AOC的内部，OE平分∠COD，
∴∠DOC = 2∠COE.由
(1)可知，∠BOC = 20°，
∴∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = 20° + 2∠COE.
∵∠COE + ∠BOD = 65°，
∴∠COE + 20° + 2∠COE = 65°.
∴∠COE = 15°.②∠BOE的度数为$40° - \frac{1}{2}α$或$40° + \frac{1}{2}α.$

13. (2024·兰州五十五中开学考)若一个多边形从一个顶点最多能引出 $ 5 $ 条对角线，则这个多边形是(B)

A.六边形
B.八边形
C.九边形
D.十边形

答案： B

14. 将一个半径为 $ 2 $ 的圆分成八个完全相同的小扇形，则每个小扇形的圆心角为45度，面积为\frac{π}{2}(结果保留 $ \pi $)。

答案： $45 \frac{π}{2}$

15. 新考向 新定义问题 如图，有公共端点 $ P $ 的两条线段 $ MP $，$ NP $ 组成一条折线 $ M - P - N $。若该折线 $ M - P - N $ 上一点 $ Q $ 把这条折线分成相等的两部分，则把这个点 $ Q $ 叫作这条折线的“折中点”。已知 $ D $ 是折线 $ A - C - B $ 的“折中点”，$ E $ 为线 $ AC $ 的中点，$ CD = 1 $，$ CE = 3 $，则线段 $ BC $ 的长为8或4。
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答案： 8或4

16. 综合与实践
【特例感知】
(1) 如图 1，已知线段 $ AB = 14\ cm $，点 $ C $ 为线段 $ AB $ 上的一个动点，点 $ D $，$ E $ 分别是 $ AC $ 和 $ BC $ 的中点。
① 若 $ AC = 4\ cm $，则线段 $ DE = $7$cm$。
② 若 $ AC = a\ cm(a \lt 14) $，则线段 $ DE = $7$cm$。
【知识迁移】
(2) 我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，若 $ \angle AOB = 120^{\circ} $，$ OC $ 是 $ \angle AOB $ 内部的一条射线，射线 $ OM $ 平分 $ \angle AOC $，射线 $ ON $ 平分 $ \angle BOC $，求 $ \angle MON $ 的度数。
【拓展探究】
(3) 已知 $ \angle COD $ 在 $ \angle AOB $ 内部的位置如图 3 所示，$ \angle AOB = \alpha (\alpha \lt 180^{\circ}) $，$ \angle COD = 30^{\circ} $，且 $ \angle DOM = 2\angle AOM $，$ \angle CON = 2\angle BON $，请直接写出 $ \angle MON = $\frac{2}{3}α + 10°(用含 $ \alpha $ 的代数式表示)。

答案：
(1)①7 ②7
(2)
∵OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，
∴$∠CON = \frac{1}{2}∠BOC，$$∠COM = \frac{1}{2}∠AOC.$
∵∠AOB = 120°，
∴$∠MON = ∠CON + ∠COM = \frac{1}{2}(∠BOC + ∠AOC) = \frac{1}{2}∠AOB = 60°.(3)\frac{2}{3}α + 10°$