《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

【例】如图,在数轴上,点 A 表示的数为 -6,点 B 表示的数为 8,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 AB 的方向运动,运动时间为 $ t(t＞0) $秒.
(1) $ t $秒后,点 P 走过2t个单位长度.
(2) 线段 $ AB = 8 - $(-6) $ =$14;$ t $秒后,点 P 表示的数为-6 + 2t.
(3) 若点 P 在线段 AB 上,则线段 $ AP =$2t,$ BP =$14 - 2t(用含 $ t $ 的代数式表示).
(4) 求经过多长时间,A,B,P 三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
【分析】 $ t $秒后,点 P 可以在点 A,B 之间,也可以在点 B 右侧,故存在两种情况.

【解答】

答案：
①当$P$是$AB$的中点时，如图1，$AP = BP$，
　　　　　　　　　　　
$\therefore 2t = 14 - 2t$，解得$t = \frac{7}{2}$；②当$B$是$AP$的中点时，如图2，点$P$在$AB$的延长线上，则$AB = BP = \frac{1}{2}AP$，$\therefore 14 = \frac{1}{2} × 2t$，解得$t = 14$.
　　　　　　　　
综上所述，经过$\frac{7}{2}$秒或14秒，$A$，$B$，$P$三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.

1. 如图 1,已知线段 $ AB = 24 $,C 为线段 AB 上的一点,D,E 分别是 AC 和 BC 的中点.
(1) 若 $ AC = 8 $,则 DE 的长为12.
(2) 若 $ BC = a $,求 DE 的长.
(3) 动点 P,Q 分别从 A,B 两点同时出发,相向而行,点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿线段 AB 向右匀速运动,点 Q 以点 P 速度的两倍沿线段 AB 向左匀速运动,设运动时间为 $ t $秒,则当 $ t $的值为多少时,P,Q 两点之间的距离为 6?

答案： 1.
(1)12　
(2)$\because AB = 24$，$BC = a$，$\therefore AC = 24 - a$.$\because D$，$E$分别是$AC$和$BC$的中点，$\therefore DC = 12 - \frac{1}{2}a$，$CE = \frac{1}{2}a$.$\therefore DE = DC + CE = 12$.
(3)由题意，得$AP = 3t$，$BQ = 6t$.若$P$，$Q$两点之间的距离为$6$，则$3t + 6 + 6t = 24$或$3t + 6t - 6 = 24$，解得$t = 2$或$t = \frac{10}{3}$.$\therefore$当$t$的值为$2$或$\frac{10}{3}$时，$P$，$Q$两点之间的距离为$6$.

2. 如图,已知数轴上 A,B,C 三点对应的数分别为 -1,3,5,P 为数轴上任意一点,其对应的数为 $ x $.点 A 与点 P 之间的距离表示为 AP,点 B 与点 P 之间的距离表示为 BP.
(1) 若 $ AP = BP $,求 $ x $的值.
(2) 若 $ AP = 3 $,求 $ x $的值.
(3) 若点 P 从点 C 出发,以每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,点 B 以每秒 2 个单位长度的速度向右运动,三点同时出发.设运动时间为 $ t $秒,试判断 $ 4BP - AP $的值是否发生变化? 若不变化,求出这个定值;若变化,请说明理由.

答案： 2.
(1)$\because AP = BP$，$\therefore$点$P$在点$A$，$B$之间.$\therefore AP = x - (-1)$，$BP = 3 - x$.$\therefore x - (-1) = 3 - x$，解得$x = 1$.
(2)由题意，得$AP = |x - (-1)| = 3$，解得$x = 2$或$x = -4$.
(3)$4BP - AP$的值不会随着$t$的变化而变化.理由如下：由题意知，点$P$表示的数为$5 + 3t$，点$B$表示的数为$3 + 2t$，点$A$表示的数为$-1 - t$.$\therefore BP = 5 + 3t - (3 + 2t) = 2 + t$，$AP = 5 + 3t - (-1 - t) = 6 + 4t$.$\therefore 4BP - AP = 4(2 + t) - (6 + 4t) = 2$.$\therefore 4BP - AP$的值不会随着$t$的变化而变化，定值是$2$.