《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

1. 蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人。某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有11只，那么下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第15代的只数是(D)

A.$11^{12}$
B.$11^{13}$
C.$11^{14}$
D.$11^{15}$

答案： D

2. 将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在(D)


A.A位置
B.B位置
C.C位置
D.D位置

答案： D

3. 小王利用计算机设计了一个计算程序，请根据数据完成下表：

答案： $\frac{5}{26}$　$\frac{n}{n²+1}$

4. 如图，下列是由同种型号的黑、白两种颜色的等边三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。仔细观察图形可知：
图1有1块黑色的瓷砖，可表示为$1=\frac{(1 + 1)×1}{2}$；图2有3块黑色的瓷砖，可表示为$1 + 2=\frac{(1 + 2)×2}{2}$；
```
图1 图2 图3(虚线框)
```
实践与探索：
(1)请在图3的虚线框内画出第3个图形。
(2)第4个图形有10块黑色的瓷砖。
(3)第$n$个图形有$\frac{1}{2}$n(n+1)块黑色的瓷砖(用含有$n$的代数式表示)。

答案：
(1)图略.
(2)10　
(3)$\frac{1}{2}$n(n+1)

5. （教材P102习题T1变式）观察：
$2^{1}-1 = 1$，$2^{2}-1 = 3$，$2^{3}-1 = 7$，$2^{4}-1 = 15$，$2^{5}-1 = 31$，$2^{6}-1 = 63$，$2^{7}-1 = 127$，$2^{8}-1 = 255$，……
（1）归纳计算结果中的个位数字的规律。
（2）写出其中个位数字分别为1，3，7，5的算式各两个。
（3）指出$2^{100}-1$的个位数字。

答案： （1）个位数字的规律为1,3,7,5四个数字循环$.（2）2^9−1=511,2^10−1=1023,2^11−1=2047,2^12−1=4095,2^13−1=8191,2^14−1=16383,2^15−1=32767,2^16−1=65535.($答案不唯一)（3）
∵100÷4=25,
∴$2^100−1$的个位数字与$2^4−1$的个位数字相同,为5.

6. 探索规律是深入认识事物的一种方法，通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式，历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律。
问题情景：如图1，把火柴棒搭成正方形。
(1)问题提出：①按图1的方式，搭4个正方形需要13根火柴棒；
②其学生是按照图2思考的，根据他思考的方法求出搭$x$个正方形所需火柴棒根数的代数式。
(2)问题解决：你还有其他的思考方法得到正方形的个数$x$与火柴棒的根数之间的关系吗？说明思考方法，画出对应图形，并求出代数式。
(3)问题运用：改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形，画出图形，求出图形个数$a$与火柴棒根数之间关系的代数式。

答案：
（1）①13　②搭1个正方形需要4根，搭2个正方形需要火柴棒4+3=7 (根),搭3个正方形需要火柴棒4+3×2=10(根),搭4个正方形需要火柴棒4+3×3=13(根),......
∴搭x个正方形所需火柴棒的根数为4+3(x−1)=(3x+1)根.（2）如图,
　　　　　　　
　搭1个正方形需要火柴棒(4×1−0)根,搭2个正方形需要火柴棒(4×2−1)根，搭3个正方形需要火柴棒(4×3−2)根,......
∴搭x个正方形所需火柴棒的根数为4x−(x−1)=(3x+1)根.（3）答案不唯一,例如:按如图的方式搭出下列图形,
　　　　　　　　　　
　同理可得，第a个图形所需火柴棒的根数为6+5(a−1)=(5a+1)根.