《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

微专题3 利用数轴化简绝对值

【例】有理数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，且$\vert a\vert=\vert b\vert$.
(1)用“$＞$”“$＜$”或“$=$”填空：
$b$＜$0$，$a + b$=$0$，$a - c$＞$0$，$b - c$＜$0$.
(2)化简：$\vert a - b\vert+\vert b + c\vert-\vert a\vert$.

答案： （1）＜；=；＞；＜ （2）
∵a - b ＞ 0,b + c ＜ 0,a ＞ 0，
∴原式=a - b b - c - a = - 2b - c.

1. 已知表示数$a$，$b$的点在数轴上的位置如图所示，那么化简$\vert a - b\vert+\vert a + b\vert$的结果是-2a.

答案： -2a

2. 表示有理数$a$，$b$，$c$的点在数轴上的位置如图所示，请化简：$\vert c + b - a\vert-\vert a - b\vert=$c.

答案： c

3. 已知$a$，$b$，$c$在数轴上的位置如图所示，则化简$\vert a + c\vert-\vert a - 2b\vert-\vert c - 2b\vert$的结果是(B)


A.$0$
B.$4b$
C.$-2a - 2c$
D.$2a - 4b$

答案： B

4. 已知$a ＞ b ＞ 0$.
（1）如图，在数轴上画出$a$，$b$，$-a$，$-b$的对应点的大致位置.
（2）化简：$\vert -a\vert-2\vert a - b\vert+\vert a + b\vert$.

答案： （1）图略. （2）
∵a ＞ b ＞ 0，
∴a - b ＞ 0,a + b ＞ 0.
∴原式=a - 2(a - b)+(a + b)=a - 2a + 2b + a + b = 3b.

【例】石家庄外国语校本经典题 阅读材料：我们知道，$4x - 2x + x=(4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b)-2(a + b)+(a + b)=(4 - 2 + 1)(a + b)=3(a + b)$.“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用整体思想解决下列问题：
（1）把$(a - b)^{2}$看成一个整体，化简$3(a - b)^{2}-6(a - b)^{2}+2(a - b)^{2}$.
（2）已知$x^{2}-2y = 4$，求$3x^{2}-6y - 21$的值.
（3）已知$a - 2b = 3$，$2b - c = -5$，$c - d = 10$，求$(a - c)+(2b - d)-(2b - c)$的值.

答案： （1）把(a - b)²看成一个整体，
∴原式=(3 - 6 + 2)(a - b)² = -(a - b)². （2）
∵x² - 2y = 4，
∴3(x² - 2y)=12，即3x² - 6y = 12.
∴3x² - 6y - 21=12 21 = - 9. （3）
∵a - 2b = 3,2b - c = - 5,c - d = 10，
∴(a - c)+(2b - d)-(2b - c)=a - c + 2b - d - 2b + c=(a - 2b)+(2b - c)+(c - d)=3+(-5)+10=8.

1. (2023·南通)若$a^{2}-4a - 12 = 0$，则$2a^{2}-8a - 8$的值为(D)

A.$24$
B.$20$
C.$18$
D.$16$

答案： D

2. 如果$m - n = 5$，那么$-3m + 3n - 7$的值是(D)

A.$22$
B.$-8$
C.$8$
D.$-22$

答案： D

3. (2023·泰州)若$2a - b + 3 = 0$，则$2(2a + b)-4b$的值为-6.

答案： -6

4. (2023·沈阳)当$a + b = 3$时，代数式$2(a + 2b)-(3a + 5b)+5$的值为2.

答案： 2