《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

5. 将长方形纸片 $ ABCD $ 按如图所示方式折叠，使得 $ \angle A'EB' = 40^{\circ} $，其中 $ EF $，$ EG $ 为折痕，则 $ \angle FEG $ 的度数为(D)

A.$ 40^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 110^{\circ} $

答案： D

6. 【特例感知】
(1) 如图 1，已知线段 $ MN = 45\mathrm{cm} $，$ AB = 3\mathrm{cm} $，点 $ C $ 和点 $ D $ 分别是 $ AM $，$ BN $ 的中点。若 $ AM = 18\mathrm{cm} $，则 $ CD = $24 $ \mathrm{cm} $。

【知识迁移】
(2) 我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，已知 $ \angle AOB $ 在 $ \angle MON $ 内部转动，射线 $ OC $ 和射线 $ OD $ 分别平分 $ \angle AOM $ 和 $ \angle BON $。

① 若 $ \angle MON = 150^{\circ} $，$ \angle AOB = 30^{\circ} $，求 $ \angle COD $ 的度数。
② 请你猜想 $ \angle AOB $，$ \angle COD $ 和 $ \angle MON $ 三个角有怎样的数量关系？请说明理由。

答案：
(1)24　　
(2)①
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM,∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BON.
∴∠AOC+∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BON).又
∵∠MON=150°,∠AOB=30°,
∴∠AOM+∠BON=∠MON−∠AOB=150°−30°=120°.
∴∠AOC+∠BOD =$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°+30°=90°.②∠COD=$\frac{1}{2}$(∠MON+∠AOB).理由如下:
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM,∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BON.
∴∠AOC+∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BON).
∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BON)+∠AOB=$\frac{1}{2}$(∠MON −∠AOB)+∠AOB=$\frac{1}{2}$(∠MON+∠AOB).

7. 已知 $ O $ 是直线 $ AB $ 上的一点，$ \angle COD = 90^{\circ} $，$ OE $ 是 $ \angle BOD $ 的平分线。

(1) 如图 1，当点 $ C $，$ D $，$ E $ 在直线 $ AB $ 的同侧时。
① 若 $ \angle COE = 35^{\circ} $，求 $ \angle AOD $ 的度数。
② 若 $ \angle COE = \alpha $，则 $ \angle AOD = $2α。(用含 $ \alpha $ 的式子表示)
(2) 如图 2，当点 $ C $ 与点 $ D $，$ E $ 在直线 $ AB $ 的两侧时，(1) 中②的结论是否仍然成立？请给出结论并说明理由。

答案：
(1)①
∵∠COD=90°,∠COE=35°,
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−35°=55°.
∵OE平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠DOE=2×55°=110°.
∴∠AOD =180°−∠BOD=180°−110°=70°.②2α　　
(2)成立.理由如下:当点C与点D,E在直线AB的两侧时,
∵∠COE=α,∠COD=90°,
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−α.
∵OE平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠DOE=2(90°−α)=180°−2α.
∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−(180°−2α)=2α.