《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

【变式 1】 如图，已知 OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC.
(1)若∠AOB = 70°，∠BOC = 30°，则∠EOF = 35°.
(2)若∠AOB = α，∠BOC = β，求∠EOF 的度数.
(3)通过(1)(2)的计算，能发现什么？

答案：
(1)35°
(2)
∵OE平分∠AOC,
∴$∠EOC=\frac{1}{2}∠AOC.$
∵OF平分∠BOC,
∴$∠COF=\frac{1}{2}∠BOC.$
∴$∠EOF=∠EOC-∠COF=\frac{1}{2}∠AOC-\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC-∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}α.(3)$发现$∠EOF=\frac{1}{2}∠AOB,$与∠BOC的度数无关.

【变式 2】 如图，∠AOB = 80°，∠AOC ＜ 180°，OE 平分∠AOD，OF 平分∠BOC. 若∠COD = 50°，求∠EOF 的度数.

答案：
∵OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,
∴$∠AOE=∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD,∠BOF=∠FOC=\frac{1}{2}∠BOC.$
∴$∠EOF=∠EOD+∠BOF-∠BOD=\frac{1}{2}∠AOD+\frac{1}{2}∠BOC-∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOD+∠BOC)-∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOB+∠COD+2∠BOD)-∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOB+∠COD)=\frac{1}{2}×(80°+50°)=65°.$

【拓展训练】 如图，O 是直线 AB 上的一点，∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，射线 OD 从 OC 出发，以 18°/s 的速度绕点 O 逆时针旋转，旋转至 OA 返回；当射线 OD 开始旋转的同时，射线 OE 从 OB 出发，以 3°/s 的速度绕点 O 逆时针旋转，当 OE 旋转至 OC 时，OD，OE 同时停止转动.
(1)求∠AOC 和∠BOC 的度数.
(2)OE 平分∠BOC 的同时，OD 能否平分∠AOC？如果能，请说明理由.

答案：
(1)
∵$∠AOC+∠BOC=180°,∠BOC=\frac{1}{2}∠AOC,$
∴∠AOC=120°,∠BOC=60°.
(2)能.理由如下：设射线OE旋转ts时,OE平分∠BOC,
∴$∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
∴3t=30,解得t=10.
∵OD从OC出发,以18°/s的速度绕点O逆时针旋转,且旋转至OA返回,
∴OD此时旋转的度数为10×18°=180°.
∴∠AOD=180°-120°=60°.
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=120°-60°=60°.
∴∠AOD=∠COD,即OD平分∠AOC.
∴当射线OD,OE旋转10s时,OE平分∠BOC的同时,OD能平分∠AOC.