《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

1. 如图，C，E 是线段 AB 上两点，D 为线段 AB 的中点，AB=6，CD=1.
(1)求 BC 的长.
(2)若 AE：EC=1：3，求 EC 的长.

答案： 1.解：
(1)
∵D为线段AB的中点，AB=6.
∴$BD=\frac{1}{2}AB=3.$
∵CD=1，
∴BC=BD-CD=3-1=2.
(2)
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=3.$
∵CD=1，
∴AC=AD+CD=3+1=4.
∵AE:EC=1:3，
∴$EC=\frac{3}{1+3}×4=3.$

【例 1】如图，点 C 在线段 AB 上，M，N 分别是 AC，BC 的中点.

(1)若 AC=9 cm，CB=6 cm，则线段 MN 的长为cm.
(2)若 AC=a，CB=b，则线段 MN 的长为.
(3)若 C 为线段 AB 上的任意一点，且 AB=n，其他条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？请用一句简洁的话描述你发现的结论.
【拓展提问】若将题干中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”，其他条件不变，则(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出结论，并说明理由.

答案： 【例1】解：$(1)\frac{15}{2}(2)\frac{a+b}{2}(3)$猜想：$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n.$结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB.$
【拓展提问$】MN=\frac{1}{2}n$成立.理由如下：如图，当点C在线段AB的延长线上时.
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴$MC=\frac{1}{2}AC，$$NC=\frac{1}{2}BC.$又
∵MN=MC-NC，
∴$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n.$

2. A|湖南师大附中校本经典题 如图，线段 AB 的长为 6，C 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，求线段 AE 的长.

答案： 2.解：
∵C是AB的中点，
∴AC=BC=3cm.又
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=1.5cm.
∴AD=AB-BD=6-1.5=4.5(cm).
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=2.25cm.$