《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版甘肃专版》

1. 如图，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ AC:BC = 2:3 $，点 $ D $ 在线段 $ AB $ 的延长线上，且 $ BD = AC $，$ E $ 为 $ AD $ 的中点。若 $ AB = 40\mathrm{cm} $，求线段 $ CE $ 的长。

答案： 解:
∵AC:BC=2:3,BD=AC,
∴设AC=BD=2xcm,BC=3xcm.
∴AB =AC+BC=2x+3x=5xcm.又
∵AB=40cm,
∴5x=40,解得x=8.
∴AC=BD=16cm.
∵E为AD的中点,AB=40cm,
∴AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$(AB+BD)=$\frac{1}{2}$×(40+16)=28(cm).
∴CE=AE−AC=28−16=12(cm).

2. 如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，$ OD $ 平分 $ \angle AOC $，$ \angle BOE = 2\angle EOC $，$ \angle AOD = \frac{3}{4}\angle EOC $，求 $ \angle AOD $ 的度数。

答案： 解:设∠EOC=4α,则∠AOD=$\frac{3}{4}$∠EOC=3α,∠BOE=2∠EOC=8α.
∵OD 平分∠AOC,
∴∠AOC=2∠AOD=6α.
∵∠AOC+∠EOC+∠BOE=180°,
∴6α+4α+8α=180°,解得α=10°.
∴∠AOD=3α=30°.

3. 如图，$ C $ 为线段 $ AB $ 上的一点，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，点 $ C $ 把线段 $ AD $ 分成两部分，其中 $ AC:CD = 4:1 $，且 $ AB = 12 $。
(1) 求 $ AC $ 的长。
(2) 若点 $ E $ 在线段 $ AB $ 所在的直线上，且 $ AE = 3 $，求 $ DE $ 的长。

答案：

(1)
∵D为BC的中点,
∴BC=2CD=2BD.
∵AC:CD=4:1,
∴AC=4CD.
∴AB=AC+BC=4CD+2CD=12,解得CD=2.
∴AC=4CD=4×2=8.
(2)①如图1，当点E在线段AB上时,
　　　　　　　　　
DE=AB−AE−DB=12-3-2=7;②如图2,当点E在线段BA的延长线上，
　　　　　　　
DE=AB+AE−BD=12+3−2=13.综上所述，DE的长为7或13.

4. 已知 $ \angle AOB $，过点 $ O $ 引两条射线 $ OC $，$ OM $，且 $ OM $ 平分 $ \angle AOC $。
(1) 如图，若 $ \angle AOB = 120^{\circ} $，$ \angle BOC = 30^{\circ} $，且点 $ C $ 在 $ \angle AOB $ 的内部，求 $ \angle MOB $ 的度数。
以下是求 $ \angle MOB $ 的度数的解题过程，请补充完整：

解：$ \because \angle AOB = 120^{\circ} $，$ \angle BOC = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} $。
$ \because OM $ 平分 $ \angle AOC $，
$ \therefore \angle MOC = \frac{1}{2} $∠AOC $ = $45 $ ^{\circ} $。
$ \because \angle MOB = \angle MOC + $∠BOC，
$ \therefore \angle MOB = $75 $ ^{\circ} $。
(2) 若 $ \angle AOB = \alpha $，$ \angle BOC = \beta $(其中 $ \alpha ＜ \beta ＜ 90^{\circ} $)，画出图形，并求 $ \angle BOM $ 的度数(用含 $ \alpha $，$ \beta $ 的代数式表示)。

答案：

(1)∠AOC　45　∠BOC　75　
(2)分两种情况讨论:①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如图1所示.
∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=β−α.
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=α+$\frac{\beta - \alpha}{2}$=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
　　　　　　　　　　 　　　
②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如图2所示.
∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=α+β.
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
∴∠BOM=∠AOM−∠AOB=$\frac{\alpha + \beta}{2}$−α=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
　　　　　　　　　　
综上所述,∠BOM的度数为$\frac{\alpha + \beta}{2}$或$\frac{\beta - \alpha}{2}$.