《2025年名师学案七年级数学上册沪科版》

【例 1】按一定规律排列的单项式：$x$,$3x^{2}$,$5x^{3}$,$7x^{4}$,$9x^{5}$,…$$,第 $n$ 个单项式是 (A)
A.$(2n - 1)x^{n}$
B.$(2n + 1)x^{n}$
C.$(n - 1)x^{n}$
D.$(n + 1)x^{n}$
【思路点拨】第 $1$,$2$,$3$,$4$,$5$ 个单项式的系数分别是 $1$,$3$,$5$,$7$,$9$,其中 $1 = 1×2 - 1$,$3 = 2×2 - 1$,$5 = 2×3 - 1$,$7 = 2×4 - 1$,$9 = 2×5 - 1$,故第 $n$ 个单项式的系数是____；各个单项式的字母均是 $x$,它们的指数与它们各自的序号____,故第 $n$ 个单项式中 $x$ 的指数是____。

答案： A
【思路点拨】$2n-1$ 相同 $n$

1. 观察下面的一列单项式：$-x$,$2x^{2}$,$-4x^{3}$,$8x^{4}$,$-16x^{5}$,…$$,根据其中的规律,得出第 $10$ 个单项式是 (B)
A.$-2^{9}x^{10}$
B.$2^{9}x^{10}$
C.$-2^{9}x^{9}$
D.$2^{9}x^{9}$

答案： B

2. 按一定规律排列的一组式子依次为：$a + 2b$,$3a^{2} + 4b^{2}$,$5a^{3} + 8b^{3}$,$7a^{4} + 16b^{4}$,$9a^{5} + 32b^{5}$,…$$,按此规律排列下去,则这组式子中第 $2023$ 个式子为 (A)
A.$4045a^{2023} + 2^{2023}b^{2023}$
B.$4047a^{2023} + 2^{4046}b^{2023}$
C.$4045a^{2023} + 2023b^{2023}$
D.$4045a^{2023} + 4046b^{2023}$

答案： A

3.(2023·牡丹江)观察下面两行数：
$1$,$5$,$11$,$19$,$29$,…；
$1$,$3$,$6$,$10$,$15$,…。
取每行数的第 $7$ 个数,计算这两个数的和是 (C)
A.$92$
B.$87$
C.$83$
D.$78$

答案： C

【例 2】如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第 $1$ 个图形需要 $6$ 根小木棒,拼第 $2$ 个图形需要 $14$ 根小木棒,拼第 $3$ 个图形需要 $22$ 根小木棒……$$若按照这样的方法拼成的第 $2022$ 个图形需要16174根小木棒。

【思路点拨】解：由题意知,第 $1$ 个图形需要 $6$ 根小木棒,第 $2$ 个图形需要 $6×$2$+2=$14根小木棒,第 $3$ 个图形需要 $6×$3$+2×2=$22根小木棒,按此规律,第 $n$ 个图形需要$6n$$+2($$n-1$$)=$$(8n-2)$根小木棒,当 $n = 2022$ 时,$8n - 2=$16174。

答案： 16 174
【思路点拨】2 14 3 22 $6n$ $n-1$ $(8n-2)$ 16 174

4.(2023·重庆)用圆圈按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有 $2$ 个圆圈,第②个图案中有 $5$ 个圆圈,第③个图案中有 $8$ 个圆圈,第④个图案中有 $11$ 个圆圈,…$$,按此规律排列下去,则第⑦个图案中圆圈的个数为(B)

A.$14$
B.$20$
C.$23$
D.$26$

答案： B

5.(2023·山西)如图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成。第 $1$ 个图案中有 $4$ 个白色圆片,第 $2$ 个图案中有 $6$ 个白色圆片,第 $3$ 个图案中有 $8$ 个白色圆片,第 $4$ 个图案中有 $10$ 个白色圆片,…$$依此规律,第 $n$ 个图案中有$(2+2n)$个白色圆片(用含 $n$ 的代数式表示)。

答案： $(2+2n)$