《2025年名师学案七年级数学上册沪科版》

1. 如图,$\angle AOB = 108°$,$OE是\angle AOB$的平分线,$OC在\angle AOE$内。
(1) 若$\angle COE = \frac{1}{3}\angle AOE$,求$\angle AOC$的度数；
(2) 若$\angle BOC - \angle AOC = 18°$,求$\angle COE$的度数。

答案： 1.解:
(1)因为OE是∠AOB的平分线,所以∠AOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×108°=54°.所以∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOE=$\frac{1}{3}$×54°=18°.所以∠AOC=∠AOE−∠COE=54°−18°=36°.
(2)因为∠AOB=∠AOC+∠BOC=108°,所以∠BOC=108°−∠AOC;因为∠BOC−∠AOC=18°,所以108°−∠AOC−∠AOC=18°.解得∠AOC=45°.所以∠COE=∠AOE−∠AOC=54°−45°=9°.

2. 如图,射线$OC$,$OD把\angle AOB$分成三个角,且$\angle AOC : \angle COD : \angle DOB = 2 : 3 : 4$,$OM平分\angle AOC$,$ON平分\angle BOD$,且$\angle NOM = 90°$,求$\angle COD$的度数。

答案： 2.解:因为∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4,所以设∠AOC=2x°,则∠COD=3x°,∠DOB=4x°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠AOM=∠COM=x°,∠DON=∠BON=2x°.因为∠NOM =90°,所以∠DON+∠COD+∠COM=90°,即2x+3x+x=90,解得x=15.所以∠COD=3×15°=45°.

3. 点$O是直线AB$上一点,射线$OD平分\angle AOC$。
(1) 如图①所示,射线$OE在\angle AOC$内部,$\angle COE = \frac{1}{3}\angle BOC$,若$\angle DOE = 50°$,求$\angle BOC$的度数；
(2) 如图②所示,射线$OE在直线AB$下方,$\angle BOC : \angle AOD : \angle AOE = 2 : 5 : 8$,求$\angle BOE$的度数。

答案： 3.解:
(1)设∠BOC的度数为x°,因为∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC,所以∠COE的度数为$\frac{1}{3}$x°.因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×(180°−x°)=90°−$\frac{1}{2}$x°.因为∠DOE=50°=∠COD−∠COE,所以90°−$\frac{1}{2}$x°−$\frac{1}{3}$x°=50°.解得x°=48°,所以∠BOC的度数为48°;
(2)因为∠BOC:∠AOD:∠AOE=2:5:8,故设∠BOC的度数为2y°,∠AOD的度数为5y°,∠AOE的度数为8y°,所以∠COD=∠AOB - ∠BOC - ∠AOD=180° - 7y°.因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD,所以5y°=180° - 7y°,解得y°=15°.所以∠AOE=8y = 8×15°=120°,所以∠BOE=180° - ∠AOE=180° - 120°=60°.