《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

25. 如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使$\angle BOC= 135^\circ$,将一个含$45^\circ$角的直角三角板的一个顶点放在点O处,斜边OM与直线AB重合,另外两条直角边都在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转$90^\circ$,如图2,此时$\angle BOM$的度数为$90^\circ$；在图2中,OM是否平分$\angle CON$？请说明理由.
解：OM平分$\angle CON$，理由如下：
$\because \angle BOC=135^\circ$
$\therefore \angle AOC=180^\circ - 135^\circ=45^\circ$
$\because$三角板绕点O逆时针旋转$90^\circ$
$\therefore \angle AOM=90^\circ$，$\angle MON=45^\circ$
$\therefore \angle COM=\angle AOM - \angle AOC=90^\circ - 45^\circ=45^\circ$
$\therefore \angle COM=\angle MON$
$\therefore$OM平分$\angle CON$
(2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3所示的位置,使得ON在$\angle AOC$的内部,请探究$\angle AOM与\angle CON$之间的数量关系,并说明理由.
解：$\angle AOM=\angle CON$，理由如下：
设$\angle AOM=\alpha$
$\because \angle MON=45^\circ$
$\therefore \angle AON=\angle MON - \angle AOM=45^\circ - \alpha$
$\because \angle AOC=45^\circ$
$\therefore \angle CON=\angle AOC - \angle AON=45^\circ - (45^\circ - \alpha)=\alpha$
$\therefore \angle AOM=\angle CON$
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒$5^\circ$的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t s时,直线ON恰好平分锐角$\angle AOC$,则t的值为$9$或$45$(直接写出结果).

答案：
(1) $90^\circ$
解：OM平分$\angle CON$，理由如下：
$\because \angle BOC=135^\circ$
$\therefore \angle AOC=180^\circ - 135^\circ=45^\circ$
$\because$三角板绕点O逆时针旋转$90^\circ$
$\therefore \angle AOM=90^\circ$，$\angle MON=45^\circ$
$\therefore \angle COM=\angle AOM - \angle AOC=90^\circ - 45^\circ=45^\circ$
$\therefore \angle COM=\angle MON$
$\therefore$OM平分$\angle CON$
(2) 解：$\angle AOM=\angle CON$，理由如下：
设$\angle AOM=\alpha$
$\because \angle MON=45^\circ$
$\therefore \angle AON=\angle MON - \angle AOM=45^\circ - \alpha$
$\because \angle AOC=45^\circ$
$\therefore \angle CON=\angle AOC - \angle AON=45^\circ - (45^\circ - \alpha)=\alpha$
$\therefore \angle AOM=\angle CON$
(3) $9$或$45$