《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

22. 学校办公楼前有一长为$m$,宽为$n$的长方形空地(如图),在中心位置留出一个直径为$2a$的圆形区域建一个喷泉,两边是长为$b$,宽为$a$的两块长方形休息区,阴影部分为绿地.
(1)用代数式表示阴影部分的面积(结果保留$\pi$).
(2)当$m= 8,n= 6,a= 1,b= 2$时,阴影部分的面积是多少($\pi$取3)?

答案： 【解析】：
本题主要考查代数式的建立与求值。
(1) 首先，计算长方形空地的总面积，即 $mn$。
然后，计算圆形喷泉的面积，即 $\pi a^{2}$。
接着，计算两个长方形休息区的总面积，即 $2ab$。
最后，阴影部分的面积 = 空地总面积 - 喷泉面积 - 休息区面积
所以，阴影部分的面积为：$mn - \pi a^{2} - 2ab$。
(2) 当 $m = 8, n = 6, a = 1, b = 2$ 时，
将这些值代入上面得到的代数式中，
阴影部分的面积 = $8 × 6 - 3 × 1^{2} - 2 × 1 × 2$
= $48 - 3 - 4$
= $41$
【答案】：
(1) 阴影部分的面积为 $mn - \pi a^{2} - 2ab$。
(2) 当 $m = 8, n = 6, a = 1, b = 2$ 时，阴影部分的面积为 41。

23. 观察下列式子,你能发现什么规律?
第1个:$1×3+1= 2^2$;
第2个:$2×4+1= 3^2$;
第3个:$3×5+1= 4^2$;
第4个:$4×6+1= 5^2$;
…
(1)第5个式子是$5×7+1=6^2$,第9个式子是$9×11+1=10^2$.
(2)请用含$n$($n$为正整数)的式子表示你发现的规律.
$n(n+2)+1=(n+1)^2$
(3)计算$(1+\frac{1}{9×11})×(1+\frac{1}{10×12})×…×(1+\frac{1}{2024×2026})$的值.
解：原式$=(1+\frac{1}{9×11})×(1+\frac{1}{10×12})×…×(1+\frac{1}{2024×2026})$
$=\frac{9×11 + 1}{9×11}×\frac{10×12 + 1}{10×12}×…×\frac{2024×2026 + 1}{2024×2026}$
$=\frac{10^2}{9×11}×\frac{11^2}{10×12}×…×\frac{2025^2}{2024×2026}$
$=\frac{10}{9}×\frac{10}{11}×\frac{11}{10}×\frac{11}{12}×…×\frac{2025}{2024}×\frac{2025}{2026}$
$=\frac{10}{9}×\frac{2025}{2026}$
$=\frac{10×225}{2026}$
$=\frac{2250}{2026}$
$=\frac{1125}{1013}$

答案：
(1)第5个式子是$5×7+1=6^2$，第9个式子是$9×11+1=10^2$。
(2)规律：$n(n+2)+1=(n+1)^2$。
(3)解：原式$=(1+\frac{1}{9×11})×(1+\frac{1}{10×12})×…×(1+\frac{1}{2024×2026})$
$=\frac{9×11 + 1}{9×11}×\frac{10×12 + 1}{10×12}×…×\frac{2024×2026 + 1}{2024×2026}$
$=\frac{10^2}{9×11}×\frac{11^2}{10×12}×…×\frac{2025^2}{2024×2026}$
$=\frac{10}{9}×\frac{10}{11}×\frac{11}{10}×\frac{11}{12}×…×\frac{2025}{2024}×\frac{2025}{2026}$
$=\frac{10}{9}×\frac{2025}{2026}$
$=\frac{10×225}{2026}$
$=\frac{2250}{2026}$
$=\frac{1125}{1013}$