《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

23. 欧拉为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献. 他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体,并把下表补充完整：

(2)分析表中的数据,你能发现V,E,F之间有什么关系吗？请写出关系式：______.
【答案】：
(1)9；6；6；12
(2)$V + F - E = 2$

答案： 【解析】：
（1）三棱柱有9条棱，正方体有6个面，正八面体有6个顶点和12条棱。
将这些数据填入表格中对应的空格处。
（2）观察表格中的数据，尝试找出顶点数V、棱数E、面数F之间的关系。
对于三棱锥：$V = 4, E = 6, F = 4$，满足 $V + F - E = 4 + 4 - 6 = 2$；
对于三棱柱：$V = 6, E = 9, F = 5$，满足 $V + F - E = 6 + 5 - 9 = 2$；
对于正方体：$V = 8, E = 12, F = 6$，满足 $V + F - E = 8 + 6 - 12 = 2$；
对于正八面体：$V = 6, E = 12, F = 8$，满足 $V + F - E = 6 + 8 - 12 = 2$。
通过观察，发现对于所有列出的多面体，都满足关系式 $V + F - E = 2$。
【答案】：
(1)9；6；6；12
(2)$V + F - E = 2$

24. 【综合与实践】
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动,他们利用边长为24 cm的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒(图1为无盖的长方体纸盒,图2为有盖的长方体纸盒). 请你动手操作验证并完成任务.(纸板厚度及接缝处忽略不计)
动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体纸盒.
方法：先在纸板四角处剪去四个同样大小、边长为b的小正方形,再沿虚线折叠起来.

【问题解决】
(1)若b＝6 cm,则该长方体纸盒的底面边长为12cm,体积为432$cm^3.$
动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒.
方法：先在纸板四角处剪去两个同样大小、边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折叠起来.
【拓展延伸】
(2)若b＝3 cm,则该长方体纸盒的表面积为多少平方厘米？
解：由题意，正方形纸板面积为$24×24 = 576\,cm^2$。
剪去部分面积为$2×3×3 + 2×3×(24 - 2×3) = 18 + 108 = 126\,cm^2$。
长方体纸盒表面积为$576 - 126 = 450\,cm^2$。
答：该长方体纸盒的表面积为$450\,cm^2$。

答案：
(1) 12，432
(2) 解：由题意，正方形纸板面积为$24×24 = 576\,cm^2$。
剪去部分面积为$2×3×3 + 2×3×(24 - 2×3) = 18 + 108 = 126\,cm^2$。
长方体纸盒表面积为$576 - 126 = 450\,cm^2$。
答：该长方体纸盒的表面积为$450\,cm^2$。