《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

24. 阅读与探究：
一般情况下,$\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$不成立,但有些数可以使得它成立,例如：$a = b = 0$. 我们称使得$\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}成立的一对数a$,$b$为“相伴数对”,记为$(a, b)$.
(1)若$(1, b)$是“相伴数对”,求$b$的值.
(2)写出一个“相伴数对”$(a, b)$,其中$a$,$b为整数且a \neq 0$.
(3)若$(m, n)$是“相伴数对”,求代数式$9m - 2(1 - 2n)$的值.

答案：
(1)解：因为$(1,b)$是“相伴数对”，所以$\frac{1}{2} + \frac{b}{3} = \frac{1 + b}{2 + 3}$。
方程两边同乘30得：$15 + 10b = 6(1 + b)$
去括号得：$15 + 10b = 6 + 6b$
移项得：$10b - 6b = 6 - 15$
合并同类项得：$4b = -9$
解得：$b = -\frac{9}{4}$
(2)$(4, -6)$（答案不唯一）
(3)解：因为$(m,n)$是“相伴数对”，所以$\frac{m}{2} + \frac{n}{3} = \frac{m + n}{5}$
方程两边同乘30得：$15m + 10n = 6(m + n)$
去括号得：$15m + 10n = 6m + 6n$
移项得：$15m - 6m + 10n - 6n = 0$
合并同类项得：$9m + 4n = 0$
则$9m - 2(1 - 2n) = 9m - 2 + 4n = (9m + 4n) - 2 = 0 - 2 = -2$

25. 如图,在数轴上,点A表示的数为-2,点B表示的数为10,O是原点. 动点P从点O出发向点B匀速运动,速度为每秒1个单位长度,动点Q从点A出发向点B匀速运动,速度为每秒3个单位长度,到达点B后立即返回,以原来的速度向点O匀速运动,当点P,Q再次重合时,两点都停止运动. 设P,Q两点同时出发,运动时间为$t$(单位：s).

(1)当点Q到达点B时,点P表示的数为______.
(2)在点Q到达点B前,点Q表示的数为______.(用含$t$的代数式表示)
(3)在整个运动过程中,当$t$为何值时,P,Q两点相距$\frac{3}{2}$个单位长度？
4
-2 + 3t
当$t$为$\frac{1}{4}s$或$\frac{7}{4}s$或$\frac{41}{8}s$或$\frac{47}{8}s$时，P，Q两点相距$\frac{3}{2}$个单位长度。

答案： 【解析】：
（1）本题考查的是数轴上点的运动问题，需要先求出点$Q$从点$A$运动到点$B$所需的时间，再根据点$P$的运动速度和时间求出点$P$表示的数。
点$Q$从点$A$（表示的数为$-2$）运动到点$B$（表示的数为$10$），需要运动的距离为$10 - (-2) = 12$，
已知点$Q$的速度为每秒$3$个单位长度，根据时间$=$路程$÷$速度，可得点$Q$从点$A$运动到点$B$所需的时间为$12÷3 = 4s$。
点$P$从点$O$出发，速度为每秒$1$个单位长度，运动时间为$4s$，根据路程$=$速度$×$时间，可得点$P$运动的距离为$1×4 = 4$，
因为点$P$从原点$O$出发，所以点$P$表示的数为$0 + 4 = 4$。
故答案为$4$。
（2）本题可根据点$Q$的初始位置、运动速度和运动时间来表示点$Q$表示的数。
点$Q$从点$A$（表示的数为$-2$）出发，速度为每秒$3$个单位长度，运动时间为$t s$，根据点在数轴上的运动规律，向右运动则数值增加，可得点$Q$表示的数为$-2 + 3t$。
故答案为$-2 + 3t$。
（3）本题需要分情况讨论点$Q$在到达点$B$前和到达点$B$后返回时$P$，$Q$两点相距$\frac{3}{2}$个单位长度的情况，然后列出一元一次方程求解。
当点$Q$在到达点$B$前：
点$P$表示的数为$0 + t = t$，点$Q$表示的数为$-2 + 3t$，
已知$P$，$Q$两点相距$\frac{3}{2}$个单位长度，根据数轴上两点间的距离公式，可得$\vert t - (-2 + 3t)\vert = \frac{3}{2}$，即$\vert -2 + 2t\vert = \frac{3}{2}$，
则$-2 + 2t = \frac{3}{2}$或$-2 + 2t = -\frac{3}{2}$，
当$-2 + 2t = \frac{3}{2}$时，$2t = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$，解得$t = \frac{7}{4}$，
当$-2 + 2t = -\frac{3}{2}$时，$2t = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$，解得$t = \frac{1}{4}$。
当点$Q$到达点$B$后返回时：
点$Q$从点$A$到点$B$用了$4s$，此时点$P$运动了$4$个单位长度，点$P$表示的数为$4$，点$Q$到达点$B$（表示的数为$10$），
点$Q$从点$B$返回，速度不变仍为每秒$3$个单位长度，此时点$Q$表示的数为$10 - 3(t - 4)= 10 - 3t + 12 = 22 - 3t$，点$P$表示的数为$t$，
已知$P$，$Q$两点相距$\frac{3}{2}$个单位长度，根据数轴上两点间的距离公式，可得$\vert t - (22 - 3t)\vert = \frac{3}{2}$，即$\vert 4t - 22\vert = \frac{3}{2}$，
则$4t - 22 = \frac{3}{2}$或$4t - 22 = -\frac{3}{2}$，
当$4t - 22 = \frac{3}{2}$时，$4t = \frac{3}{2} + 22 = \frac{47}{2}$，解得$t = \frac{47}{8}$，
当$4t - 22 = -\frac{3}{2}$时，$4t = -\frac{3}{2} + 22 = \frac{41}{2}$，解得$t = \frac{41}{8}$。
综上，当$t$为$\frac{1}{4}s$或$\frac{7}{4}s$或$\frac{41}{8}s$或$\frac{47}{8}s$时，$P$，$Q$两点相距$\frac{3}{2}$个单位长度。
【答案】：
（1）$4$；
（2）$-2 + 3t$；
（3）$t$为$\frac{1}{4}s$或$\frac{7}{4}s$或$\frac{41}{8}s$或$\frac{47}{8}s$。