《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

24. 【阅读理解】在解形如3|x-2|= |x-2|+4这类含有绝对值的方程时,有如下方法.
方法一：运用整体思想. 3|x-2|-|x-2|= 4,2|x-2|= 4,|x-2|= 2,x-2= ±2,解得x= 4或x= 0.
方法二：运用分类讨论思想,根据绝对值的意义,分x＜2和x≥2两种情况讨论. ① 当x＜2时,原方程可化为-3(x-2)= -(x-2)+4,解得x= 0,符合x＜2；② 当x≥2时,原方程可化为3(x-2)= (x-2)+4,解得x= 4,符合x≥2. 所以原方程的解为x= 0或x= 4.
【解题回顾】方法二中,2为x-2的零点,它把数轴上的点表示的数分成了x＜2和x≥2两部分,所以分x＜2和x≥2两种情况讨论.
【尝试应用】结合上面的材料,解决下列问题.
(1) 解方程：|x-3|+8= 3|x-3|.
(2) 解方程：|2-x|-3|x+1|= x-9.

答案： 【解析】：
本题主要考察绝对值方程的解法，需要运用分类讨论的思想，根据绝对值内的表达式为零的点（即零点）将数轴分为几部分，然后分别讨论。
(1) 对于方程 $|x-3|+8= 3|x-3|$：
首先，找出绝对值内的表达式的零点，即 $x-3=0$，解得 $x=3$。
然后，根据零点将数轴分为两部分：$x＜3$ 和 $x\geq3$。
* 当 $x＜3$ 时，$|x-3|=-(x-3)$，代入原方程得：$-(x-3)+8=3×[-(x-3)]$，即$-x+3+8=-3x+9$，解得$x=-1$，符合 $x＜3$。
* 当 $x\geq3$ 时，$|x-3|=x-3$，代入原方程得：$(x-3)+8=3×(x-3)$，即$x-3+8=3x-9$，解得$x=7$，符合 $x\geq3$。
所以，原方程的解为 $x=-1$ 或 $x=7$。
(2) 对于方程 $|2-x|-3|x+1|= x-9$：
首先，找出绝对值内的表达式的零点，即 $2-x=0$ 和 $x+1=0$，解得 $x=2$ 和 $x=-1$。
然后，根据零点将数轴分为三部分：$x＜-1$，$-1\leq x\leq2$ 和 $x＞2$。
* 当 $x＜-1$ 时，$|2-x|=2-x$，$|x+1|=-(x+1)$，代入原方程得：$(2-x)-3×[-(x+1)]=x-9$，即$2-x+3x+3=x-9$，解得$x=-14$，符合 $x＜-1$。
* 当 $-1\leq x\leq2$ 时，$|2-x|=2-x$，$|x+1|=x+1$，代入原方程得：$(2-x)-3×(x+1)=x-9$，即$2-x-3x-3=x-9$，解得$x=\frac{8}{5}$，符合 $-1\leq x\leq2$。
* 当 $x＞2$ 时，$|2-x|=-(2-x)$，$|x+1|=x+1$，代入原方程得：$-(2-x)-3×(x+1)=x-9$，即$-2+x-3x-3=x-9$，解得$x=\frac{4}{3}$，但不符合 $x＞2$，所以此解舍去。
所以，原方程的解为 $x=-14$ 或 $x=\frac{8}{5}$。
【答案】：
(1) $x=-1$ 或 $x=7$
(2) $x=-14$ 或 $x=\frac{8}{5}$