《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

25. 阅读材料,回答下列问题.
通过计算容易发现:① $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}= \frac{1}{2}×\frac{1}{3}$;② $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}= \frac{1}{4}×\frac{1}{5}$;③ $\frac{1}{6}-\frac{1}{7}= \frac{1}{6}×\frac{1}{7}$;….
(1) 观察上面的三道算式,请再写出一道这样的算式:$\frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{8} × \frac{1}{9}$.
(2) 计算 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{6×7}$ 的值为$\frac{6}{7}$.(直接写出结果)
(3) 探究上述的运算规律,计算 $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{2021×2023}+\frac{1}{2023×2025}$ 的值.
解：原式$= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} × (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \ldots + \frac{1}{2} × (\frac{1}{2021} - \frac{1}{2023}) + \frac{1}{2} × (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2025})$
$= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023} + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2025})$
$= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{2025})$
$= \frac{1012}{2025}$

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的运算和数学归纳法的应用。
(1) 通过观察给出的算式，我们可以发现每个算式都符合一个特定的模式，
即两个连续分数的差等于这两个分数的乘积。
因此，我们可以根据这个模式写出一个新的算式。
(2) 这个部分是一个数列的求和，每项的形式都是两个连续整数的倒数的乘积。
我们可以利用分数的性质，将其转化为两个分数的差，然后进行求和，最后发现大部分项都会相互抵消，只剩下首项和末项。
(3) 这个部分也是一个数列的求和，但每项的形式与
(2)中的略有不同。
我们需要先将其拆分为两部分，然后分别求和，最后再将两部分的结果相加。
【答案】：
(1) 答案不唯一，如$\frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{8} × \frac{1}{9}$。
(2) 原式$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$。
(3) 解：
原式
$= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} × (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \ldots + \frac{1}{2} × (\frac{1}{2021} - \frac{1}{2023}) + \frac{1}{2} × (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2025})$
$= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023} + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2025})$
$= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{2025})$
$= \frac{1012}{2025}$。