《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

23. 仔细观察下列有关联的三行数.
第一行：$-2$,$4$,$-8$,$16$,$-32$,$64$,…；
第二行：$0$,$6$,$-6$,$18$,$-30$,$66$,…；
第三行：$-1$,$2$,$-4$,$8$,$-16$,$32$,….
回答下列问题：
(1)第一行中的第8个数是256.
(2)第二行中的第$n$个数是$(-2)^n + 2$,第三行中的第$n$个数是$\frac{(-2)^n}{2}$.
(3)取每行的第$n$个数,是否存在这样的$n$的值,使得这三个数的和为$-1278$？若存在,求出$n$的值；若不存在,请说明理由.
解：存在。设第一行第$n$个数为$a_n=(-2)^n$，第二行第$n$个数为$b_n=(-2)^n + 2$，第三行第$n$个数为$c_n=\frac{(-2)^n}{2}$。由题意得：$(-2)^n + [(-2)^n + 2] + \frac{(-2)^n}{2} = -1278$，合并同类项：$\frac{5}{2}(-2)^n + 2 = -1278$，移项：$\frac{5}{2}(-2)^n = -1280$，解得：$(-2)^n = -512$，因为$(-2)^9 = -512$，所以$n=9$。

答案：
(1) 256
(2) 第二行：$(-2)^n + 2$；第三行：$\frac{(-2)^n}{2}$
(3) 解：存在。
设第一行第$n$个数为$a_n=(-2)^n$，第二行第$n$个数为$b_n=(-2)^n + 2$，第三行第$n$个数为$c_n=\frac{(-2)^n}{2}$。
由题意得：$(-2)^n + [(-2)^n + 2] + \frac{(-2)^n}{2} = -1278$
合并同类项：$\frac{5}{2}(-2)^n + 2 = -1278$
移项：$\frac{5}{2}(-2)^n = -1280$
解得：$(-2)^n = -512$
因为$(-2)^9 = -512$，所以$n=9$。

24. 在数轴上,若点$A表示的数是a$,点$B表示的数是b$,则点$A与点B之间的距离AB= |a - b|$.例如：$A$,$B两点表示的数分别为3$,$-1$,那么$AB= |3 - (-1)|= 4$.
(1)若$|x - 2|= 1$,则$x$的值为3或1.
(2)当$x= $-2, -1, 0, 1($x$是整数)时,式子$|x - 1| + |x + 2|= 3$成立.
(3)在数轴上,点$A表示的数是a$,点$P表示的数是p$.我们定义：当$|p - a|= 1$时,点$P叫点A$的1倍伴随点,当$|p - a|= 2$时,点$P叫点A$的2倍伴随点,…,当$|p - a|= n$时,点$P叫点A的n$倍伴随点.试探究以下问题：点$M是点A$的1倍伴随点,点$N是点B$的2倍伴随点,是否存在这样的点$A和点B$,使得点$M恰与点N$重合？若存在,求出点$A与点B$之间的距离；若不存在,请说明理由.
存在，距离为1或3

答案：
(1) 解：由绝对值的定义，得$x - 2 = 1$或$x - 2 = -1$，解得$x = 3$或$x = 1$。
(2) 解：当$x \leq -2$时，原式$=1 - x - x - 2 = -2x - 1 = 3$，解得$x = -2$；当$-2 ＜ x ＜ 1$时，原式$=1 - x + x + 2 = 3$，此时整数$x = -1, 0$；当$x \geq 1$时，原式$=x - 1 + x + 2 = 2x + 1 = 3$，解得$x = 1$。综上，$x = -2, -1, 0, 1$。
(3) 解：存在。设点$A$表示的数为$a$，点$B$表示的数为$b$，则点$M$表示的数为$a \pm 1$，点$N$表示的数为$b \pm 2$。因为点$M$与点$N$重合，所以$a + 1 = b + 2$或$a + 1 = b - 2$或$a - 1 = b + 2$或$a - 1 = b - 2$，即$a - b = 1$或$a - b = -3$或$a - b = 3$或$a - b = -1$。所以$|a - b| = 1$或$3$，即点$A$与点$B$之间的距离为$1$或$3$。
(1) $3$或$1$
(2) $-2, -1, 0, 1$
(3) 存在，距离为$1$或$3$