《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

24. 为了求$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100}$的值,可令$M = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100}$,则$3M = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{101}$,因此$3M - M = 3^{101} - 1$,所以$M = \frac{3^{101} - 1}{2}$,即$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100} = \frac{3^{101} - 1}{2}$. 仿照上述方法,求$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{2025}$的值.
解：设$N = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2025}$，
两边同时乘以5，得到：
$5N = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2026}$
两式相减，得到：
$5N - N = 5^{2026} - 1$
$4N = 5^{2026} - 1$
$N = \frac{5^{2026} - 1}{4}$
所以，$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2025} = \frac{5^{2026} - 1}{4}$。

答案： 【解析】：
题目考查了代数式的求和与代数运算。
此题通过设定一个等式，然后等式两边同乘以一个相同的数，再相减来简化求和。
设原式为$N$，即$N = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2025}$。
等式两边同时乘以5，得到$5N = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2026}$。
用$5N$减去$N$，得到$4N = 5^{2026} - 1$。
解这个等式，得到$N$的值。
【答案】：
解：设$N = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2025}$，
两边同时乘以5，得到：
$5N = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2026}$
两式相减，得到：
$5N - N = 5^{2026} - 1$
$4N = 5^{2026} - 1$
$N = \frac{5^{2026} - 1}{4}$
所以，$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2025} = \frac{5^{2026} - 1}{4}$。

25. 在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数——“好数”. 定义：对于三位自然数$n$,各数位上的数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数$n$为“好数”. 例如：426是“好数”,因为4,2,6都不为0,且$4 + 2 = 6$,6能被6整除；643不是“好数”,因为$6 + 4 = 10$,10不能被3整除.
(1) 判断312,875是否是“好数”,并说明理由.
(2) 求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 对于312：
首先，检查312的每一位数字，确保都不为0。
接着，计算百位和十位数字之和：$3 + 1 = 4$。
最后，判断这个和是否能被个位数字整除：$4 ÷ 2 = 2$，没有余数，所以312是“好数”。
对于875：
首先，检查875的每一位数字，确保都不为0。
接着，计算百位和十位数字之和：$8 + 7 = 15$。
最后，判断这个和是否能被个位数字整除：$15 ÷ 5 = 3$，没有余数，但由于需要判断所有可能的个位数字，我们还需要考虑15除以其他个位数字的情况，例如$15 ÷ 1=15$（是整数，但通常我们选择最小的非1个位数字作为除数来判断，此处仅作说明），而$15 ÷ 7$有余数，所以仅当个位为1或5时满足条件，但题目要求的是“恰好能被个位数字整除”，在这里我们选择最小的满足条件的个位数字，即5，因此875也是“好数”。但按照题目的直接要求，我们只需找到一个满足条件的个位数字即可判断其为“好数”，所以此处判断875是“好数”是合理的。
(2) 设十位数字为$x$，则百位数字为$x + 5$，其中$x$为1到4的整数（因为百位数字最大为9，所以$x+5\leq9$，即$x\leq4$）。
个位数字设为$y$，需要满足$y$能整除$x + (x + 5) = 2x + 5$。
当$x = 1$时，$2x + 5 = 7$，$y$可以取1和7，得到“好数”611和617。
当$x = 2$时，$2x + 5 = 9$，$y$可以取1、3和9，得到“好数”721、723和729。
当$x = 3$时，$2x + 5 = 11$，$y$可以取1和11，但由于$y$是个位数字，所以$y$只能取1，得到“好数”831。
当$x = 4$时，$2x + 5 = 13$，$y$可以取1和13，但由于$y$是个位数字，所以$y$只能取1，得到“好数”941。
综上，满足条件的“好数”有611、617、721、723、729、831和941，共7个。
【答案】：
(1) 312是“好数”，因为$3 + 1 = 4$，4能被2整除；875是“好数”，因为$8 + 7 = 15$，15能被5整除。
(2) 百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数为7，理由如上所述。