《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

18. 如图,将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分,部分①是边长为1的正方形纸片的一半,部分②是部分①的一半,部分③是部分②的一半,依此类推,可求得阴影部分的面积是$\frac{1}{2^6}$,受此启发,可知$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}= $$\frac{63}{64}$.类比探究:$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}= $$\frac{3^n-1}{2×3^n}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查代数式的运算及规律探索。
首先分析阴影部分面积：
部分①的面积是边长为1的正方形面积的一半，即$\frac{1}{2}$。
部分②的面积是部分①面积的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
部分③的面积是部分②面积的一半，即$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。
依此类推，部分⑥的面积是$\frac{1}{2^6}$。
通过观察可以发现，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$的和等于$1$减去阴影部分的面积，即$1-\frac{1}{2^6}$。
计算得：$1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$。
对于类比探究部分：
设$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots+\frac{1}{3^n}$，
则$\frac{1}{3}S=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}$，
两式相减得：
$\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{n+1}}$，
$S=\frac{3}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{n+1}})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})$，
即$S=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})=\frac{3^n-1}{2×3^n}$，
【答案】：
$\frac{63}{64}$；$\frac{3^n-1}{2×3^n}$。

19. 当$x= 3,y= -1$时,求下列代数式的值:
(1)$x^3+y^2$;
(2)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$;
(3)$x^2-xy$.

答案： 【解析】：
本题主要考查代数式的求值，具体需要先将给定的$x$和$y$的值代入到各个代数式中，然后进行计算。
对于第一个代数式$x^3+y^2$，需要计算$x$的三次方和$y$的二次方，然后将它们相加。
对于第二个代数式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，需要分别求出$x$和$y$的倒数，然后将它们相加。
对于第三个代数式$x^2-xy$，需要先计算$x$的二次方和$x$与$y$的乘积，然后用$x$的二次方减去$x$与$y$的乘积。
【答案】：
(1)解：
当$x = 3$，$y = -1$时，
$x^3 + y^2$
$= 3^3 + (-1)^2$
$= 27 + 1$
$= 28$
(2)解：
当$x = 3$，$y = -1$时，
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{-1}$
$= \frac{1}{3} - 1$
$= -\frac{2}{3}$
(3)解：
当$x = 3$，$y = -1$时，
$x^2 - xy$
$= 3^2 - 3 × (-1)$
$= 9 + 3$
$= 12$