《2025年多维互动提优课堂七年级数学上册苏科版》

7. 已知关于$x的方程x - \frac{4 - ax}{5} = \frac{3x + 4}{5} - 1$的解是整数,则符合条件的所有整数$a$的和是 (A)
A.$-8$
B.$-5$
C.0
D.2

答案： 解：方程两边同乘5，得$5x-(4-ax)=3x+4-5$
去括号，得$5x-4+ax=3x-1$
移项、合并同类项，得$(2+a)x=3$
当$2+a≠0$，即$a≠-2$时，$x=\frac{3}{2+a}$
∵方程的解是整数，
∴$2+a$是3的因数，
∴$2+a=±1$或$±3$
当$2+a=1$时，$a=-1$；
当$2+a=-1$时，$a=-3$；
当$2+a=3$时，$a=1$；
当$2+a=-3$时，$a=-5$；
符合条件的整数$a$为$-1,-3,1,-5$，其和为$-1+(-3)+1+(-5)=-8$
答案：A

8. 已知关于$x的一元一次方程2025x - 3 = 4x + 3b的解为x = 6$,则关于$y的一元一次方程2025(1 - y) + 3 = 4(1 - y) - 3b$的解为 (D)
A.$y = -5$
B.$y = -7$
C.$y = 5$
D.$y = 7$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的求解及方程解的替换。
首先，将$x=6$代入方程$2025x - 3 = 4x + 3b$中，得到：
$2025 × 6 - 3 = 4 × 6 + 3b$
$12150 - 3 = 24 + 3b$
$12147 = 24 + 3b$
$3b = 12123$
$b = 4041$
得到$b$的值后，将其代入关于$y$的方程$2025(1 - y) + 3 = 4(1 - y) - 3b$中，得到：
$2025(1 - y) + 3 = 4(1 - y) - 12123$
展开并整理得：
$2025 - 2025y + 3 = 4 - 4y - 12123$
$2028 - 2025y = -12119 - 4y$
$-2025y + 4y = -12119 - 2028$
$-2021y = -14147$
$y = 7$
【答案】：
D. $y = 7$

9. 若代数式$4x + 8与3x - 10$的值互为相反数,则$x = $$\frac{2}{7}$.

答案： 解：因为代数式$4x + 8$与$3x - 10$的值互为相反数，所以$4x + 8 + 3x - 10 = 0$。
合并同类项得：$7x - 2 = 0$。
移项得：$7x = 2$。
系数化为$1$得：$x = \frac{2}{7}$。
$\frac{2}{7}$

10. 若$(m + 1)x^{|m|} + 3 = 0是关于x$的一元一次方程,则$m = $1.

答案： 解：因为方程$(m + 1)x^{|m|} + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以$|m| = 1$且$m + 1 \neq 0$。
由$|m| = 1$，得$m = 1$或$m = -1$。
又因为$m + 1 \neq 0$，所以$m \neq -1$。
综上，$m = 1$。
$1$

11. 若三个连续奇数的和是57,则这三个连续的奇数分别是17，19，21.

答案： 【解析】：
本题考查的是一元一次方程的应用。
设中间的奇数为$x$，则前一个奇数为$x-2$，后一个奇数为$x+2$。
根据题意，三个连续奇数的和为57，可以列出方程：
$(x - 2) + x + (x + 2) = 57$
合并同类项，得到：
$3x = 57$
解方程，得到：
$x = 19$
因此，前一个奇数为$x-2=19-2=17$，后一个奇数为$x+2=19+2=21$。
【答案】：
这三个连续的奇数分别是$17$，$19$，$21$。

12. 已知代数式$\frac{x - 2}{3}$的值与$\frac{3}{8}$互为倒数,则$x = $10.

答案： 解：因为代数式$\frac{x - 2}{3}$的值与$\frac{3}{8}$互为倒数，互为倒数的两个数乘积为$1$，所以$\frac{x - 2}{3} × \frac{3}{8} = 1$。
化简方程左边可得：$\frac{x - 2}{8} = 1$。
两边同时乘以$8$：$x - 2 = 8$。
两边同时加$2$：$x = 10$。
故答案为$10$。

13. 某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共用时3 h,已知船在静水中的速度是8 km/h,水流速度是2 km/h. 若A,C两地之间的距离为2 km,则A,B两地之间的距离是______10 km或12.5 km.

答案： 【解析】：
本题考查一元一次方程的行程问题。
设A，B两地之间的距离为$x$ km。
当C在A的上游时：
船从A到B顺流而下，速度为船速加水速，即$8 + 2 = 10$ km/h，用时$\frac{x}{10}$小时。
船从B到C逆流而上，速度为船速减水速，即$8 - 2 = 6$ km/h。
由于A、C两地之间的距离为2 km，且C在A的上游，所以B到C的距离为$x + 2$ km，用时$\frac{x + 2}{6}$小时。
根据题意，两段行程的总用时为3小时，所以我们可以列出方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x + 2}{6} = 3$，
解这个方程，我们得到：
$3x + 5(x + 2) = 90$，
$8x + 10 = 90$，
$8x = 80$，
$x = 10 (km)$，
当C在A，B之间时：
船从A到B顺流而下，速度仍为10 km/h，用时$\frac{x}{10}$小时。
船从B到C逆流而上，速度仍为6 km/h。
由于A、C两地之间的距离为2 km，且C在A，B之间，所以B到C的距离为$x - 2$ km，用时$\frac{x - 2}{6}$小时。
同样，根据题意，两段行程的总用时为3小时，所以我们可以列出方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x - 2}{6} = 3$，
解这个方程，我们得到：
$3x + 5(x - 2) = 90$，
$8x - 10 = 90$，
$8x = 100$，
$x = 12.5 (km)$，
综上所述，A，B两地之间的距离可能是10 km或12.5 km。
【答案】：
10 km或12.5 km。

14. 如果多项式$x^2 - \frac{1}{2}mxy + 7y^2 + xy - x + 1$中不含$xy$项,那么$m = $2.

答案： 【解析】：
题目考查多项式的概念，主要涉及到多项式中某一项的系数为零的情况。
多项式为$x^2 - \frac{1}{2}mxy + 7y^2 + xy - x + 1$。
为了使多项式中不含$xy$项，需要将$xy$的系数相加为0。
多项式中$xy$的系数为$-\frac{1}{2}m$和$1$，因此有$-\frac{1}{2}m+1=0$。
解这个一元一次方程，求出$m$的值。
【答案】：
解：
∵$x^2 - \frac{1}{2}mxy + 7y^2 + xy - x + 1$中不含$xy$项，
∴$-\frac{1}{2}m+1=0$，
$-\frac{1}{2}m=-1$，
$m=2$。
故答案为$2$。

15. 如图,长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形,根据图中所标尺寸,可知每个小长方形的面积为______.

20

答案： 解：设每个小长方形的长为$x$cm，宽为$y$cm。
由图可知：$\begin{cases}x + 3y=16\\x - y=8\end{cases}$
由$x - y=8$得$x=y + 8$，代入$x + 3y=16$，
$y + 8+3y=16$，$4y=8$，$y=2$，$x=2 + 8=10$。
每个小长方形面积为$x× y=10×2 = 20$（$cm^2$）。
20

16. 若关于$x的一元一次方程ax + 3 = x + 7$的解是正整数,则$a$的值为2，3，5.

答案： 解：移项，得$ax - x = 7 - 3$，
合并同类项，得$(a - 1)x = 4$，
因为方程是关于$x$的一元一次方程，所以$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$，
所以$x = \frac{4}{a - 1}$，
因为方程的解是正整数，所以$\frac{4}{a - 1}$是正整数，
则$a - 1$是4的正因数，
4的正因数为1，2，4，
当$a - 1 = 1$时，$a = 2$；
当$a - 1 = 2$时，$a = 3$；
当$a - 1 = 4$时，$a = 5$，
所以$a$的值为2，3，5。
答案：2，3，5

17. 规定：用$\{m\}$表示大于$m$的最小整数,如$\{2.6\} = 3$,$\{7\} = 8$,$\{-4.5\} = -4$；用$[m]$表示不大于$m$的最大整数,如$[\frac{5}{2}] = 2$,$[-4] = -4$,$[-1.5] = -2$. 如果整数$x$满足关系式$2[x] - 5\{x - 2\} = 29$,那么$x = $$-8$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的求解以及新定义的理解和应用。
首先，我们需要根据题目中的新定义，将$\{x - 2\}$和$[x]$转化为普通的数学表达式。
对于$\{x - 2\}$，它表示大于$x-2$的最小整数，即$\lceil x-2 \rceil$（其中$\lceil y \rceil$表示不小于$y$的最小整数，也就是向上取整）。但在这个特定问题中，由于$x$是整数，$x-2$也是整数，所以$\{x - 2\}$就是$x-2+1=x-1$（因为$x-2$已经是整数，所以大于$x-2$的最小整数就是$x-1$）。
对于$[x]$，它表示不大于$x$的最大整数，由于$x$是整数，所以$[x]=x$。
将这两个转化代入原方程$2[x] - 5\{x - 2\} = 29$，我们得到：
$2x - 5(x - 1) = 29$
这是一个一元一次方程，我们可以直接求解。
【答案】：
解：
首先，根据题目中的新定义，我们有：
$[x] = x$ （因为$x$是整数）
$\{x - 2\} = x - 1$ （因为$x$是整数，所以$x-2$也是整数，大于$x-2$的最小整数就是$x-1$）
将这两个表达式代入原方程$2[x] - 5\{x - 2\} = 29$，我们得到：
$2x - 5(x - 1) = 29$
展开括号：
$2x - 5x + 5 = 29$
合并同类项：
$-3x = 24$
解得：
$x = -8$
故答案为：$x = -8$。