《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

12. (2024·晋中榆次区期末)如图，$\angle AOB$与 $\angle COD$都是直角。
(1)若 $\angle BOC = 113^{\circ}$，试求 $\angle AOD$的度数。
(2)以 OD 为一边，作 $\angle DOE = \angle DOB$，且 OE 与 OB 不重合。(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
(3)在(2)的条件下，如果 $\angle AOD$的度数比 $\angle BOD$度数的 3 倍还多 $10^{\circ}$，那么 $\angle AOE$的度数为50°。

答案： 12.
(1)
∵ ∠AOB与∠COD都是直角,
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°.
∵ ∠BOC = 113°.
∴ ∠BOD = ∠BOC - ∠COD = 113° - 90° = 23°.
∴ ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 90° - 23° = 67°.
(2)图略.
(3)50°

13. (2024·太原第二外国语月考)从 n 边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个 n 边形分成 9 个三角形，则 n =(C)

A.9
B.10
C.11
D.12

答案： 13.C

14. (2024·太原晋源区月考)一个扇形的圆心角为 $120^{\circ}$，半径为 3，则这个扇形的面积为3π(结果保留 $\pi$)。

答案： 14.3π

15. (2024·运城河津市期末)阅读与思考
数学课快结束时，老师总结：“尺规作图指利用无刻度的直尺和圆规作图，其中圆规的作用为截取等长，它可以精确地截取或构造出与已知线段等长的线段。同学们，大家可以思考如何利用尺规作图直观比较线段的长度，比较角的度数，也可以思考利用尺规作图还可以解决哪些生活中的问题呢？”课后数学社团的同学们积极思考，内容如下：
小颖的思考：如何利用尺规作图比较线段的长短，给出具体做法。
例如：如图 1，线段 AB 上有两个定点 M，N，利用尺规作图可以直观比较 AM + BN 与 MN 之间的长度关系，作图过程如下：

如图 2，以点 M 为圆心，AM 的长为半径画弧，交 AB 于点 $A'$，再以点 $A'$为圆心，BN 的长为半径画弧，交 AB 于点 $B'$，因为 $MA' + A'B' ＞ MN$，所以 AM + BN ＞ MN。

小鹏的思考：如何利用尺规作图比较角的度数并提出问题。
问题 1：如图 3，在 $\angle AOB$的内部有两条射线 OM，ON，如何利用尺规作图直观比较 $\angle AOM + \angle BON$与 $\angle MON$之间的大小关系？
小丽的思考：如何利用尺规作图解决一些生活中的问题，她想到下面的生活经历并提出问题。
图 4 为棒球场地，已知本垒到一垒，一垒到二垒，二垒到三垒，三垒到本垒的距离均相等，但一场暴雨冲刷过后，二垒和三垒的位置被泥土覆盖了，图 5 为其抽象出的示意图。

问题 2：利用圆规在图 5 中找出二垒和三垒的准确位置。
任务：
(1)请你解决小鹏思考中提出的问题 1 并完成填空。
①利用尺规在图 3 中画出直观比较 $\angle AOM + \angle BON$与 $\angle MON$之间的大小关系的过程(请保留作图痕迹)。
②填空：问题 1 中的结论为 $\angle AOM + \angle BON$＞$\angle MON$。(“＞”“＜”或“=”)
(2)请你解决小丽思考中提出的问题 2：利用圆规在图 5 中画出二垒和三垒的准确位置(请保留作图痕迹)。

答案：
15.
(1)①图3,以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OM,ON,OB于点C,D,H,G,以点D为圆心,CD的长为半径画弧,交弧CG于点E,以点E为圆心,GH的长为半径画弧,交弧CG于点F,连接OE并延长得到边OA',连接OF并延长得到边OB'. ② ＞
(2)图5,点P(二垒),Q(三垒)即为所求.