《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

5. 如图，$ C $ 为线段 $ AB $ 上的一点，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，点 $ C $ 把线段 $ AD $ 分成两部分，其中 $ AC:CD = 4:1 $，且 $ AB = 12 $。
（1）求 $ AC $ 的长。
（2）若点 $ E $ 在线段 $ AB $ 所在的直线上，且 $ AE = 3 $，求 $ DE $ 的长。

答案： 5. 解：
(1)
∵D为BC的中点，
∴BC=2CD=2BD.
∵AC:CD=4:1，
∴AC=4CD.
∴AB=AC + BC=4CD + 2CD=12，解得CD=2.
∴AC=4CD=4×2=8.
(2)①如图1，当点E在线段AB上时，
DE=AB - AE - DB=12 - 3 - 2=7；
②如图2，当点E在线段BA的延长线上，
DE=AB + AE - BD=12 + 3 - 2=13.
综上所述，DE的长为7或13.

6. (2024·大同新荣区期末联考)阅读材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图 1，$ \angle AOB = 80^{\circ} $，$ OC $ 平分 $ \angle AOB $. 若 $ \angle BOD = 20^{\circ} $，请补全图形，并求 $ \angle COD $ 的度数。
以下是小明的解答过程：
解：如图 2，$ \because OC $ 平分 $ \angle AOB $，$ \angle AOB = 80^{\circ} $，$ \therefore \angle BOC = $$\frac{1}{2}$$ \angle AOB = $40°. $ \because \angle BOD = 20^{\circ} $，$ \therefore \angle COD = \angle BOD + \angle BOC = $60°.
小静说：“我觉得这道题有两种情况，小明考虑的是 $ OD $ 在 $ \angle AOB $ 外部的情况，事实上，$ OD $ 还可能在 $ \angle AOB $ 的内部。”
请解答下列问题：
(1)请将小明的解答过程补充完整。
(2)根据小静的想法，请在图 3 中画出另一种情况对应的图形，并求出此时 $ \angle COD $ 的度数。
(3)小静的思考方法所体现出来的数学思想是A(填字母序号)。
A. 分类讨论思想
B. 整体思想
C. 数形结合思想

答案：
6. 解：
(1)$\frac{1}{2}$　40°　60°
(2)图3
∵OC平分∠AOB，∠AOB=80°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
∵∠BOD=20°，
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD=40° - 20°=20°.
(3)A

7. 将长方形纸片 $ ABCD $ 按如图所示方式折叠，使得 $ \angle A' EB' = 40^{\circ} $，其中 $ EF $，$ EG $ 为折痕，则 $ \angle FEG $ 的度数为(D)


A.$ 40^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 110^{\circ} $

答案： 7. D

8. (2024·晋中榆社县期末)综合与探究
【初步探究】
（1）如图 1，已知线段 $ AB = 16 $，$ C $，$ D $ 为线段 $ AB $ 上的两个动点，且 $ CD = 4 $，$ M $，$ N $ 分别是 $ AC $ 和 $ BD $ 的中点，求线段 $ MN $ 的长。
【类比探究】
（2）如图 2，直角 $ \angle COD $ 与平角 $ \angle AOB $ 摆放在一起，且 $ OM $ 和 $ ON $ 分别是 $ \angle AOC $，$ \angle BOD $ 的平分线，求 $ \angle MON $ 的度数。
【知识迁移】
（3）当 $ \angle AOB = \alpha $，$ \angle COD = \beta (0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ} $，$ 0^{\circ} \lt \beta \lt 180^{\circ}) $ 时，如图 3 摆放在一起，且 $ OM $ 和 $ ON $ 分别是 $ \angle AOC $，$ \angle BOD $ 的平分线，求 $ \angle MON $ 的度数（用含 $ \alpha $，$ \beta $ 的代数式表示）。

答案： 8. 解：
(1)因为AB=16，CD=4，所以AC + BD=AB - CD=16 - 4=12.因为M，N分别是AC和BD的中点，所以MC=$\frac{1}{2}$AC，DN=$\frac{1}{2}$BD.所以MC + DN=$\frac{1}{2}$(AC + BD)=$\frac{1}{2}$×12=6.所以MN=MC + CD + DN =6 + 4=10.
(2)因为∠AOB=180°，∠COD=90°，所以∠AOC + ∠BOD=∠AOB - ∠COD=180° - 90°=90°.因为OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD.所以∠MOC + ∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOD)=$\frac{1}{2}$×90°=45°.所以∠MON=∠MOC + ∠COD + ∠DON=90° + 45°=135°.
(3)因为OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD.所以∠MON=∠MOC + ∠COB + ∠BON=$\frac{1}{2}$∠AOC + ∠COB +$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC + 2∠COB + ∠BOD)=$\frac{1}{2}$(∠AOB + ∠COD)=$\frac{1}{2}$(α + β).