《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

3. (1) 如图，已知点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ AB = 20\mathrm{cm} $，$ BC = 8\mathrm{cm} $，$ M $，$ N $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 的中点，求线段 $ MN $ 的长.

解：$\because AB = 20\mathrm{cm} $，$ M $ 是$AB$的中点.
$\therefore BM = $$\frac{1}{2}$$ AB = 10\mathrm{cm} $.
$\because BC = 8\mathrm{cm} $，$ N $ 是 $ BC $ 的中点，
$\therefore BN = $$\frac{1}{2}$$ BC = 4\mathrm{cm} $.
$\therefore MN = BM - $$BN$$ = 10 - 4 = 6(\mathrm{cm}) $.
$\therefore$ 线段 $ MN $ 的长为 $ 6\mathrm{cm} $.
(2) 若 $ C $ 是线段 $ AB $ 上任意一点，且 $ AB = a $，$ BC = b $，$ M $，$ N $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 的中点，则线段 $ MN $ 的长为$\frac{1}{2}(a - b)$.(用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示)

答案： 3.
(1)$AB$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $BN$
(2)$\frac{1}{2}(a - b)$

【例 2】石家庄外国语校本经典题如图，$ C $，$ D $ 为线段 $ AB $ 上的两点，$ M $，$ N $ 分别是线段 $ AC $，$ BD $ 的中点.
(1) 如果 $ CD = 5\mathrm{cm} $，$ MN = 8\mathrm{cm} $，求 $ AB $ 的长.
(2) 如果 $ AB = a $，$ MN = b $，求 $ CD $ 的长.

答案： 【例2】
(1)
∵$M$，$N$分别是线段$AC$，$BD$的中点，
∴$AC = 2MC$，$BD = 2DN$．
∵$MC + CD + DN = MN = 8cm$，
∴$MC + DN = 8 - 5 = 3(cm)$．
∴$AC + BD = 2MC + 2DN = 2 × 3 = 6(cm)$．
∴$AB = AC + BD + CD = 6 + 5 = 11$
(cm)．
(2)
∵$M$，$N$分别是线段$AC$，$BD$的中点，
∴$CM = AM = \frac{1}{2}AC$，$BN = DN = \frac{1}{2}BD$．
∵$AM + BN = MC + DN = AB - MN$，
∴$MC + DN = a - b$．
∴$CD = MN - (MC + DN) = b - (a - b) = 2b - a$．

4. 如图，点 $ C $，$ B $ 都是线段 $ AD $ 上的点，$ E $ 是 $ AB $ 的中点.
(1) 若 $ AD = 30\mathrm{cm} $，$ BD = 6\mathrm{cm} $.
① 如图 1，求线段 $ AE $ 的长.
② 如图 2，若 $ AC = \frac{1}{3}AD $，$ F $ 是线段 $ CD $ 的中点，求线段 $ EF $ 的长.
(2) 如图 2，若 $ AC = \frac{1}{3}AD = a $，$ BD = b $，点 $ F $ 是线段 $ CD $ 的中点，用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示线段 $ EF $ 的长.

答案： 4. 解：
(1)①
∵$AD = 30cm$，$BD = 6cm$，
∴$AB = AD - BD = 24cm$．
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE = \frac{1}{2}AB = 12cm$．②
∵$AC = \frac{1}{3}AD = 10cm$，$AD = 30cm$，
∴$CD = AD - AC = 20cm$．
∴$CE = AE - AC = 12 - 10 = 2(cm)$．
∵$F$是$CD$的中点，
∴$CF = \frac{1}{2}CD = 10cm$．
∴$EF = CF - CE = 10 - 2 = 8(cm)$．
(2)
∵$AC = \frac{1}{3}AD = a$，
∴$AD = 3a$．
∴$CD = AD - AC = 2a$．
∵$F$是$CD$的中点．
∴$CF = \frac{1}{2}CD = a$．
∵$AD = 3a$，$BD = b$，
∴$AB = AD - BD = 3a - b$．
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{3a - b}{2}$．
∴$CE = AE - AC = \frac{3a - b}{2} - a = \frac{a - b}{2}$．
∴$EF = CF - CE = a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$．