《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2024·太原实验开学考)如图，已知线段 $ AB $ 和 $ CD $ 的公共部分 $ BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}CD $，线段 $ AB $，$ CD $ 的中点 $ E $，$ F $ 之间的距离是 $ 10 cm $，求 $ AB $，$ CD $ 的长。

答案： 1. 解：设BD=x cm，则AB=3x cm，CD=4x cm，AC=AB - BD + CD=3x - x + 4x=6x(cm).
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1.5x cm，CF=$\frac{1}{2}$CD=2x cm.
∴EF=AC - AE - CF=6x - 1.5x - 2x =2.5x(cm).
∵EF=10 cm，
∴2.5x=10，
∴x=4，
∴AB=12 cm，CD=16 cm.

2. 如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，$ OD $ 平分 $ \angle AOC $，$ \angle BOE = 2\angle EOC $，$ \angle AOD = \frac{3}{4}\angle EOC $，求 $ \angle AOD $ 的度数。

答案： 2. 解：设∠EOC=4α，则∠AOD=$\frac{3}{4}$∠EOC=3α，∠BOE=2∠EOC=8α.
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD=6α.
∵∠AOC + ∠EOC + ∠BOE=180°，
∴6α + 4α + 8α=180°，解得α=10°.
∴∠AOD=3α=30°.

3. 兰生复旦校本经典题 已知线段 $ AB = 2 cm $，延长 $ AB $ 到点 $ C $，使 $ BC = 2AB $，$ D $ 为 $ AB $ 的中点，求 $ DC $ 的长。

答案： 3. 解：如图所示:
∵D为AB的中点，BC=2AB，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=1 cm，BC=4 cm.
∴DC =DB + BC=5 cm.

4. 北京文汇中学校本经典题 已知 $ OD $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线，$ OE $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线. 若 $ \angle DOE = 30^{\circ} $，求 $ \angle AOB $ 的度数。

答案： 4. 解：如图所示.
∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线.
∴∠AOC=2∠COD，∠BOC=2∠COE.
∴∠AOB=∠AOC + ∠BOC=2(∠COD +∠COE)=2∠DOE=2×30°=60°.