《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

1. 蟑螂对我们来说是非常熟悉的,它之所以被称为打不死的小强,是因为它的繁殖速度非常惊人.某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍,也就是说,如果它的始祖(第一代)有11只,那么下一代就会有121只,以此类推,这种蟑螂第15代的只数是(D)

A.$11^{12}$
B.$11^{13}$
C.$11^{14}$
D.$11^{15}$

答案： 1.D

2. 将正整数按如图所示的位置顺序排列,根据排列规律,则2025应在(D)


A.A位置
B.B位置
C.C位置
D.D位置

答案： 2.D

3. 小王利用计算机设计了一个计算程序,请根据数据完成下表:

答案： 3.$\frac{5}{26}$　$\frac{n}{n^{2}+1}$

4. 如图,下列是由同种型号的黑、白两种颜色的等边三角形瓷砖按一定规律铺设的图形.仔细观察图形可知:
图1有1块黑色的瓷砖,可表示为$1=\frac{(1 + 1)×1}{2}$;图2有3块黑色的瓷砖,可表示为$1 + 2=\frac{(1 + 2)×2}{2}$;
实践与探索:
(1)请在图3的虚线框内画出第3个图形.
(2)第4个图形有10块黑色的瓷砖.
(3)第$n$个图形有$\frac{1}{2}n(n+1)$块黑色的瓷砖(用含有$n$的代数式表示).

答案：
4.解:
(1)图3
(2)10　
(3)$\frac{1}{2}n(n+1)$

5. (教材P102习题T1变式)观察:
$2^{1}-1 = 1$,$2^{2}-1 = 3$,$2^{3}-1 = 7$,$2^{4}-1 = 15$,$2^{5}-1 = 31$,$2^{6}-1 = 63$,$2^{7}-1 = 127$,$2^{8}-1 = 255$,……
(1)归纳计算结果中的个位数字的规律.
(2)写出其中个位数字分别为1,3,7,5的算式各两个.
(3)指出$2^{100}-1$的个位数字.

答案： 5.解:
(1)个位数字的规律为1,3,7,5四个数字循环.
(2)$2^{9}-1=511$,$2^{10}-1=1023$,$2^{11}-1=2047$,$2^{12}-1=4095$,$2^{13}-1=8191$,$2^{14}-1=16383$,$2^{15}-1=32767$,$2^{16}-1=65535$.(答案不唯一)　
(3)
∵100÷4 =25,
∴$2^{100}-1$的个位数字与$2^{4}-1$的个位数字相同,为5.

6. 探索规律是深入认识事物的一种方法,通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式,历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律.
问题情景:如图1,把火柴棒搭成正方形.
(1)问题提出:①按图1的方式,搭4个正方形需要13根火柴棒;
②其学生是按照图2思考的,根据他思考的方法求出搭$x$个正方形所需火柴棒根数的代数式.
(2)问题解决:你还有其他的思考方法得到正方形的个数$x$与火柴棒的根数之间的关系吗?说明思考方法,画出对应图形,并求出代数式.
(3)问题运用:改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形,画出图形,求出图形个数$a$与火柴棒根数之间关系的代数式.

答案：
6.解:
(1)①13　②搭1个正方形需要4根，搭2个正方形需要火柴棒4+3=7(根)，搭3个正方形需要火柴棒4+3×2=10(根)，搭4个正方形需要火柴棒4+3×3=13(根),……
∴搭x个正方形所需火柴棒的根数为　4+3(x−1)=(3x+1)根.　
(2)如图,口日 搭1个正方形需要火柴棒(4×1 - 0)根,搭2个正方形需要火柴棒(4×2 - 1)根，搭3个正方形需要火柴棒(4×3 - 2)根,……
∴搭x个正方形所需火柴棒的根数为4x - (x - 1)=(3x + 1)根.　
(3)答案不唯一,例如:按如图的方式搭出图形， 同理可得,第a个图形所需火柴棒的根数为6+5(a - 1)=(5a + 1)根.