《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

10. (2024·太原五中月考改编)好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为16cm，高为30cm的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为8cm的10个小圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满)，与好友分享，则杯子的高度为12cm.
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答案： 10.12

11. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”. 如图所示，“优美长方形” $ABCD$ 的周长为26，则正方形 $b$ 的边长为1.
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答案： 11.1

12. (教材P154习题T1变式)在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形空瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6cm，高为10cm的圆柱形空玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，则瓶内水还剩多高？若装得下，求杯内水面离杯口的距离.

答案： 12.解：$\because \pi × (\frac{5}{2})^{2} × 18 = 112.5\pi(cm^{3})$，$\pi × (\frac{6}{2})^{2} × 10 = 90\pi(cm^{3})$，且$112.5\pi ＞ 90\pi$，$\therefore$不能完全装下.设瓶内水还剩$y$ cm高.根据题意，得$112.5\pi = \pi × (\frac{5}{2})^{2}y + 90\pi$，解得$y = 3.6$.答：装不下，且瓶内水还剩$3.6$ cm高.

13. 如图，小王计划利用长为42m的竹篱笆围成一个长边靠墙的长方形菜园 $ABCD$，并在边 $CD$ 上留一个宽为1m的门，已知墙的长度为18m. 现有下列两个方案：
方案一：围成的菜园的长比宽多7m；
方案二：围成的菜园的长比宽多4m.
请问：这两个方案哪个能实现？如果能实现，那么这个长方形菜园的面积是多少？
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答案： 13.解：方案一：设围成的菜园的宽为$x$ m，则长为$(42 + 1 - 2x)$m.根据题意，得$42 + 1 - 2x - x = 7$，解得$x = 12$.则$42 + 1 - 2x = 19 ＞ 18$，不合题意.$\therefore$方案一不能实现.方案二：设围成的菜园的宽为$y$ m，则长为$(42 + 1 - 2y)$m.根据题意，得$42 + 1 - 2y - y = 4$，解得$y = 13$.则$42 + 1 - 2y = 17 ＜ 18$，符合题意.$\therefore$方案二能实现，则$17 × 13 = 221(m^{2})$.答：方案二能实现，这个长方形菜园的面积是$221 m^{2}$.

14. (2023·北京)对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边. 一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$. 某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm. 若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.
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答案： 14.解：设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm，则左、右边的宽为$x$ cm.根据题意，得$100 + (6x + 4x) = 4 × (27 + 2x)$，解得$x = 4$.则$6x = 24$.答：边的宽为$4$ cm，天头长为$24$ cm.