《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2023·大同期末)如图，已知线段 $ AB = 12 $，延长线段 $ AB $ 至点 $ C $，使得 $ BC = \frac{1}{2}AB $，$ D $ 是线段 $ AC $ 的中点.
(1) 求线段 $ AC $ 的长.
(2) 求线段 $ BD $ 的长.

答案： 1. 解：
(1)
∵$BC = \frac{1}{2}AB$，$AB = 12$，
∴$BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 12 = 6$．
∴$AC = AB + BC = 12 + 6 = 18$．
(2)
∵$D$是线段$AC$的中点．
∴$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 18 = 9$．
∴$BD = AB - AD = 12 - 9 = 3$．

【例 1】如图，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，$ M $，$ N $ 分别是 $ AC $，$ BC $ 的中点.

(1) 若 $ AC = 9\mathrm{cm} $，$ CB = 6\mathrm{cm} $，则线段 $ MN $ 的长为$\frac{15}{2}$$\mathrm{cm}$.
(2) 若 $ AC = a $，$ CB = b $，则线段 $ MN $ 的长为$\frac{a + b}{2}$.
(3) 若 $ C $ 为线段 $ AB $ 上的任意一点，且 $ AB = n $，其他条件不变，你能猜想 $ MN $ 的长度吗？请用一句简洁的话描述你发现的结论.
【拓展提问】若将题干中的“点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上”改为“点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的延长线上”，其他条件不变，则(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出结论，并说明理由.

答案： 【例1】
(1)$\frac{15}{2}$
(2)$\frac{a + b}{2}$
(3)猜想：$MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}n$．结论：若$C$为线段$AB$上的任意一点，且$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点．则$MN = \frac{1}{2}AB$．【拓展提问】 解：$MN = \frac{1}{2}n$成立．理由如下：如图，当点$C$在线段$AB$的延长线上时．
∵$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，
∴$MC = \frac{1}{2}AC$，$NC = \frac{1}{2}BC$．又
∵$MN = MC - NC$，
∴$MN = \frac{1}{2}(AC - BC) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}n$．

2. 湖南师大附中校本经典题如图，线段 $ AB $ 的长为 $ 6 $，$ C $ 是 $ AB $ 的中点，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，$ E $ 是 $ AD $ 的中点，求线段 $ AE $ 的长.

答案： 2. 解：
∵$C$是$AB$的中点，$AB = 6$，
∴$AC = BC = 3$．又
∵$D$是$BC$的中点，
∴$BD = CD = 1.5$．
∴$AD = AB - BD = 6 - 1.5 = 4.5$．
∵$E$是$AD$的中点，
∴$AE = \frac{1}{2}AD = 2.25$．