《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. 如图,已知$∠AOB$,用三角尺和量角器画图.
(1)画$∠AOB$的平分线OC,并在OC上任取一点P;
(2)过点P画一条平行于OB的直线;
(3)过点P画$PD⊥OA,PE⊥OB$,垂足分别为D,E.

答案：

20. 如图,直线AB,CD相交于点O,$∠BOC=75^{\circ }$,射线ON将$∠AOD$分成两个角,且$∠AON:∠NOD=2:3$.
(1)求$∠AON$的度数;30°
(2)若OM平分$∠BON$,则OB是$∠COM$的平分线吗? 判断并说明理由.是，理由：因为$\angle AON = 30^{\circ}$，根据邻补角的定义，$\angle BON = 180^{\circ}-\angle AON=180^{\circ}- 30^{\circ}=150^{\circ}$。由于$OM$平分$\angle BON$，根据角平分线的定义，$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BON=\frac{1}{2}×150^{\circ}=75^{\circ}$。已知$\angle BOC = 75^{\circ}$，所以$\angle BOM=\angle BOC$。根据角平分线的定义，可知$OB$是$\angle COM$的平分线。

答案： 解： $(1)$因为直线$AB$，$CD$相交于点$O$，根据对顶角相等，所以$\angle AOD=\angle BOC = 75^{\circ}$。
已知$\angle AON:\angle NOD = 2:3$，设$\angle AON = 2x$，则$\angle NOD = 3x$。
由$\angle AON+\angle NOD=\angle AOD$，可得$2x + 3x=75^{\circ}$，即$5x = 75^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$。
所以$\angle AON=2x = 30^{\circ}$。
$(2)$因为$\angle AON = 30^{\circ}$，
根据邻补角的定义，$\angle BON = 180^{\circ}-\angle AON=180^{\circ}- 30^{\circ}=150^{\circ}$。
由于$OM$平分$\angle BON$，根据角平分线的定义，$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BON=\frac{1}{2}\times150^{\circ}=75^{\circ}$。
已知$\angle BOC = 75^{\circ}$，所以$\angle BOM=\angle BOC$。
根据角平分线的定义，可知$OB$是$\angle COM$的平分线。