《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. 已知某圆柱的体积$V=\frac{1}{6}πd^{3}$(d 为圆柱的底面直径).
(1)用含 V 的式子表示 d: $\sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}$;
(2)当$V = 110$时,求 d 的值(用计算器计算,结果保留两位有效数字): 5.9.

答案：

解：
(1)由 $ V = \frac{1}{6}\pi d^{3} $，得 $ d^{3} = \frac{6V}{\pi} $，

所以 $ d = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}} $。

(2)将 $ V = 110 $ 代入 $ d = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}} $，

得 $ d \approx \sqrt[3]{\frac{6 \times 110}{3.14}} \approx 5.9 $。

20. 张明想用一块面积为$900cm^{2}$的正方形纸片沿着边的方向裁出一块面积为$800cm^{2}$的长方形纸片,使长方形纸片的长与宽之比为$5:4$.他能不能实现这一想法? 请说明理由.

答案： 【解析】：本题可先根据正方形面积求出正方形边长，再根据长方形长与宽的比例关系及面积求出长方形的长，最后比较长方形的长与正方形边长的大小，从而判断能否裁出符合要求的长方形。
- **步骤一：求出正方形纸片的边长**
设正方形纸片的边长为$x cm$，已知正方形面积为$900cm^{2}$，根据正方形面积公式$S = x^2$（$S$为正方形面积，$x$为正方形边长），可得$x^{2}=900$。
因为边长不能为负，则$x=\sqrt{900}=30$，即正方形纸片的边长为$30cm$。
- **步骤二：求出长方形纸片的长**
设长方形纸片的长为$5y cm$，因为长方形纸片的长与宽之比为$5:4$，所以宽为$4y cm$。
已知长方形纸片的面积为$800cm^{2}$，根据长方形面积公式$S = 长\times宽$，可得$5y\times4y = 800$，即$20y^{2}=800$，两边同时除以$20$可得$y^{2}=40$。
因为边长不能为负，则$y=\sqrt{40}$，所以长方形纸片的长为$5y = 5\sqrt{40}cm$。
- **步骤三：比较长方形的长与正方形边长的大小**
为了比较$5\sqrt{40}$与$30$的大小，可对$5\sqrt{40}$进行化简：
$5\sqrt{40}=5\times\sqrt{4\times10}=5\times2\sqrt{10}=10\sqrt{10}$
再比较$10\sqrt{10}$与$30$的大小，可对它们分别平方：
$(10\sqrt{10})^{2}=10^{2}\times(\sqrt{10})^{2}=100\times10 = 1000$
$30^{2}=900$
因为$1000\gt 900$，所以$10\sqrt{10}\gt 30$，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长。
由于长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，所以张明不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【答案】：不能实现这一想法，理由：通过计算可知长方形纸片的长为$5\sqrt{40}cm$，化简后为$10\sqrt{10}cm$，而$10\sqrt{10}\gt 30$，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片。