《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

16. 如图,O为直线AB上一点,$∠AOC=\frac {1}{3}∠BOC$,OC是$∠AOD$的平分线.
(1)求$∠AOC$的度数;$45^{\circ}$
(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.$OD⊥AB$

答案： 【解析】：
(1) 因为$∠AOC + ∠BOC = 180^{\circ}$，且$∠AOC=\frac{1}{3}∠BOC$，设$∠AOC = x$，则$∠BOC = 3x$，可得$x + 3x = 180^{\circ}$，$4x = 180^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$，即$∠AOC = 45^{\circ}$。
(2) 因为$OC$是$∠AOD$的平分线，所以$∠AOD = 2∠AOC$，由
(1)知$∠AOC = 45^{\circ}$，则$∠AOD = 2×45^{\circ} = 90^{\circ}$，所以$OD⊥AB$。
【答案】：
(1)$45^{\circ}$
(2)$OD⊥AB$

17. 如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄.设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.

答案：
解：过$M$作$MP\perp AB$于$P$，过$N$作$NQ\perp AB$于$Q$，$P$、$Q$即为所求。

18. 如图,直线AB,CD相交于点O,$∠2+∠1=115^{\circ },∠3=130^{\circ }$.
(1)求$∠2$的度数;$65^{\circ}$
(2)试说明OE平分$∠COB$.因为$\angle1$与$\angle3$互为邻补角，所以$\angle1=180^{\circ}-\angle3=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$。又因为$\angle2+\angle1=115^{\circ}$，所以$\angle2=115^{\circ}-\angle1=115^{\circ}-50^{\circ}=65^{\circ}$。$\angle1$与$\angle COB$互为邻补角，所以$\angle COB=180^{\circ}-\angle1=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。因为$\angle1+\angle COE+\angle2=180^{\circ}$（平角定义），所以$\angle COE=180^{\circ}-\angle1-\angle2=180^{\circ}-50^{\circ}-65^{\circ}=65^{\circ}$。由于$\angle COE=\angle2=65^{\circ}$，所以$OE$平分$\angle COB$。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle2$的度数
- 因为$\angle1$与$\angle3$互为邻补角，根据邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且邻补角之和为$180^{\circ}$。
已知$\angle3 = 130^{\circ}$，所以$\angle1=180^{\circ}-\angle3=180^{\circ}-130^{\circ} = 50^{\circ}$。
- 又因为$\angle2+\angle1 = 115^{\circ}$，将$\angle1 = 50^{\circ}$代入可得：$\angle2=115^{\circ}-\angle1=115^{\circ}-50^{\circ}=65^{\circ}$。
### $(2)$说明$OE$平分$\angle COB$
- 先求$\angle COB$的度数：
因为$\angle1$与$\angle COB$互为邻补角，所以$\angle COB = 180^{\circ}-\angle1=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
- 再求$\angle COE$的度数：
因为$\angle1+\angle COE+\angle2 = 180^{\circ}$（平角定义），已知$\angle1 = 50^{\circ}$，$\angle2 = 65^{\circ}$，所以$\angle COE=180^{\circ}-\angle1 - \angle2=180^{\circ}-50^{\circ}-65^{\circ}=65^{\circ}$。
- 最后判断$OE$是否平分$\angle COB$：
由于$\angle COE=\angle2 = 65^{\circ}$，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，所以$OE$平分$\angle COB$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{65^{\circ}}$；$(2)$见上述解析，$OE$平分$\angle COB$。