《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

21. (6分)已知点$A(3a-6,a+1)$,试分别根据下列条件,求点A的坐标.
(1) 点A在x轴上;
(2) 点A在过点$P(3,-2)$,且与y轴平行的直线上.

答案： 【解析】：
(1) 因为点$A$在$x$轴上，那么点$A$的纵坐标为$0$，即$a + 1 = 0$，解得$a = -1$。
将$a = -1$代入横坐标$3a - 6$可得：$3\times(-1)-6=-3 - 6=-9$。
所以此时点$A$的坐标为$(-9,0)$。
(2) 因为过点$P(3,-2)$且与$y$轴平行的直线上的所有点横坐标都相等，所以点$A$的横坐标与点$P$的横坐标相同，即$3a - 6 = 3$。
解方程$3a - 6 = 3$，移项可得$3a=3 + 6$，即$3a = 9$，解得$a = 3$。
将$a = 3$代入纵坐标$a + 1$可得：$3 + 1 = 4$。
所以此时点$A$的坐标为$(3,4)$。
【答案】：
(1)$(-9,0)$；
(2)$(3,4)$

22. (8分)解答下列各题:
(1) 若$A=\sqrt [6-2b]{a+3b}$是$a+3b$的算术平方根,$B=\sqrt [2a-3]{1-a^{2}}$是$1-a^{2}$的立方根,求$\sqrt [3]{A+B}$的值;1
(2) 规定运算:$a△b=|a-b|$,其中a,b为实数,计算:$(\sqrt {7}△3)+(2△\sqrt {7})$.1

答案： 【解析】：
(1)
因为$A = \sqrt[6 - 2b]{a + 3b}$是$a + 3b$的算术平方根，根据算术平方根的根指数为$2$，可得$6-2b = 2$。
解方程$6 - 2b=2$，移项可得$-2b=2 - 6$，即$-2b=-4$，解得$b = 2$。
又因为$B=\sqrt[2a - 3]{1 - a^{2}}$是$1 - a^{2}$的立方根，根据立方根的根指数为$3$，可得$2a-3 = 3$。
解方程$2a - 3 = 3$，移项可得$2a=3 + 3$，即$2a = 6$，解得$a = 3$。
把$a = 3$，$b = 2$代入$A=\sqrt[6 - 2b]{a + 3b}$，则$A=\sqrt{a + 3b}=\sqrt{3+3\times2}=\sqrt{3 + 6}=\sqrt{9}=3$。
把$a = 3$代入$B=\sqrt[2a - 3]{1 - a^{2}}$，则$B=\sqrt[3]{1 - a^{2}}=\sqrt[3]{1-3^{2}}=\sqrt[3]{1 - 9}=\sqrt[3]{-8}=-2$。
所以$A + B=3+( - 2)=1$，则$\sqrt[3]{A + B}=\sqrt[3]{1}=1$。
(2)
已知$a\triangle b=\vert a - b\vert$。
对于$\sqrt{7}\triangle3$，根据定义可得$\sqrt{7}\triangle3=\vert\sqrt{7}-3\vert$，因为$\sqrt{7}\lt3$，所以$\vert\sqrt{7}-3\vert=3-\sqrt{7}$。
对于$2\triangle\sqrt{7}$，根据定义可得$2\triangle\sqrt{7}=\vert2 - \sqrt{7}\vert$，因为$2\lt\sqrt{7}$，所以$\vert2-\sqrt{7}\vert=\sqrt{7}-2$。
则$(\sqrt{7}\triangle3)+(2\triangle\sqrt{7})=(3 - \sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)$
去括号得$3-\sqrt{7}+\sqrt{7}-2$，合并同类项得$(3 - 2)+(-\sqrt{7}+\sqrt{7})=1$。
【答案】：
(1)$1$；
(2)$1$