《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

18. 当 $ x $ 取什么值时,代数式 $ \frac{5x + 4}{6} $ 的值不小于 $ \frac{7}{8} - \frac{1 - x}{3} $ 的值?

答案： 【解析】：
根据题意，代数式$\frac{5x + 4}{6}$的值不小于$\frac{7}{8}-\frac{1 - x}{3}$的值，可列出不等式$\frac{5x + 4}{6}\geq\frac{7}{8}-\frac{1 - x}{3}$。
1. 去分母：
不等式两边同时乘以$24$（$6$、$8$、$3$的最小公倍数），得到$24\times\frac{5x + 4}{6}\geq24\times\frac{7}{8}-24\times\frac{1 - x}{3}$。
化简得$4(5x + 4)\geq21 - 8(1 - x)$。
2. 去括号：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$4(5x + 4)=20x+16$，$-8(1 - x)=-8 + 8x$，则不等式变为$20x+16\geq21-8 + 8x$。
3. 移项：
把含有$x$的项移到左边，常数项移到右边，得到$20x-8x\geq21 - 8-16$。
4. 合并同类项：
左边$20x-8x = 12x$，右边$21 - 8-16=-3$，则不等式变为$12x\geq - 3$。
5. 系数化为$1$：
不等式两边同时除以$12$，得到$x\geq-\frac{3}{12}$，即$x\geq-\frac{1}{4}$。
【答案】：$x\geq-\frac{1}{4}$

19. 已知关于 $ x $,$ y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3x + y = 2 - 4m, \\ x - y = 6 \end{cases} $ 的解满足 $ x + y ＜ 3 $,求 $ m $ 的取值范围.
$m＞-\frac{5}{2}$

答案： 【解析】：
本题可先解方程组得出$x$、$y$关于$m$的表达式，再根据$x + y ＜ 3$列出关于$m$的不等式，进而求出$m$的取值范围。
- **步骤一：求解方程组$\begin{cases}3x + y = 2 - 4m \\x - y = 6 \end{cases}$。**
将方程组中两个方程相加，消去$y$可得：
$(3x + y)+(x - y)=2 - 4m + 6$
$3x + y+x - y=8 - 4m$
$4x=8 - 4m$
两边同时除以$4$，解得$x = 2 - m$。
把$x = 2 - m$代入$x - y = 6$，可得：
$2 - m - y = 6$
移项可得$y = 2 - m - 6=-m - 4$。
- **步骤二：根据$x + y ＜ 3$列出关于$m$的不等式并求解。**
将$x = 2 - m$，$y = -m - 4$代入$x + y ＜ 3$，可得：
$(2 - m)+(-m - 4)＜ 3$
去括号得$2 - m - m - 4＜ 3$
合并同类项得$-2 - 2m＜ 3$
移项得$-2m＜ 3 + 2$
即$-2m＜ 5$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$m＞-\frac{5}{2}$。
【答案】：$m＞-\frac{5}{2}$