《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

20. 如图,在平面直角坐标系中,三角形 $ ABC $ 经过平移得到三角形 $ A_1B_1C_1 $.
(1)请写出 $ A $,$ B $,$ C $,$ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $ 的坐标;$A(-1,4)$，$B(2,3)$，$C(1,1)$，$A_1(-4,1)$，$B_1(-1,0)$，$C_1(-2,-2)$
(2)请写出三角形 $ A_1B_1C_1 $ 是由三角形 $ ABC $ 经过怎样的平移得到的;先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度（或先向下平移$3$个单位长度，再向左平移$3$个单位长度）
(3)三角形 $ ABC $ 内部的一个点 $ P(m,n + 1) $ 经过平移后的对应点是 $ P_1(-m - 2,2n - 4) $,求点 $ P $ 的坐标.$(\frac{1}{2},3)$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求各点坐标
根据平面直角坐标系中坐标的定义：横坐标是点到$y$轴的距离（右正左负），纵坐标是点到$x$轴的距离（上正下负）。
可得$A(-1,4)$，$B(2,3)$，$C(1,1)$，$A_1(-4,1)$，$B_1(-1,0)$，$C_1(-2,-2)$。
### $(2)$ 分析平移过程
观察点$A(-1,4)$到$A_1(-4,1)$的变化：横坐标$-1$变为$-4$，$-4-(-1)= - 3$，即横坐标减$3$；纵坐标$4$变为$1$，$1 - 4=-3$，即纵坐标减$3$。
所以三角形$A_1B_1C_1$是由三角形$ABC$先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度得到的（或先向下平移$3$个单位长度，再向左平移$3$个单位长度得到的）。
### $(3)$ 求点$P$的坐标
因为三角形$ABC$内部的点$P(m,n + 1)$经过平移（先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度 ）后得到对应点$P_1(-m - 2,2n - 4)$。
根据平移规律“左减右加，上加下减”可得方程组$\begin{cases}m-3=-m - 2\\n + 1-3=2n - 4\end{cases}$
解第一个方程$m-3=-m - 2$：
移项可得$m+m=-2 + 3$，即$2m=1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
解第二个方程$n + 1-3=2n - 4$：
移项可得$n-2n=-4-(1 - 3)$，即$-n=-2$，解得$n = 2$。
所以$n + 1=2 + 1=3$，则点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},3)$。
【答案】：
$(1)$$A(-1,4)$，$B(2,3)$，$C(1,1)$，$A_1(-4,1)$，$B_1(-1,0)$，$C_1(-2,-2)$；
$(2)$先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度（或先向下平移$3$个单位长度，再向左平移$3$个单位长度）；
$(3)$点$P$的坐标为$(\boldsymbol{\frac{1}{2},3})$。

最近的走法
如图,从 2 街 4 巷到 4 街 2 巷,走最短的路线,共有几种走法?

答案：
【解析】：从$2$街$4$巷到$4$街$2$巷，走最短路线需要向右走$2$次，向下走$2$次。可以将向右走记为$→$，向下走记为$↓$。那么所有的走法就是这$4$步（$2$个$→$和$2$个$↓$）的不同排列组合。根据排列组合公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 4$（总共走$4$步），$k = 2$（向右走$2$步），则$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)} = 6$种。
【答案】：$6$种