《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. 已知关于$x,y$的方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y=-6+m,\enclose{circle} {1}\\ x-y=3m-2.\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $
(1)求方程组的解(用含$m$的式子表示);
(2)若方程组的解同时满足$x$为非正数,$y$为负数,求$m$的取值范围.
(1)$\begin{cases}x = 2m - 4\\y=-m - 2\end{cases}$；(2)$-2\lt m\leqslant2$

答案： 【解析】：
(1) 对于方程组$\begin{cases}x + y = -6 + m&①\\x - y = 3m - 2&②\end{cases}$
将①$+$②可得：
$(x + y)+(x - y)=(-6 + m)+(3m - 2)$
去括号得$x + y+x - y=-6 + m+3m - 2$
合并同类项得$2x = 4m-8$
两边同时除以$2$，解得$x = 2m - 4$。
将①$-$②可得：
$(x + y)-(x - y)=(-6 + m)-(3m - 2)$
去括号得$x + y - x + y=-6 + m-3m + 2$
合并同类项得$2y=-2m - 4$
两边同时除以$2$，解得$y=-m - 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2m - 4\\y=-m - 2\end{cases}$。
(2) 因为$x$为非正数，$y$为负数，所以可得不等式组$\begin{cases}x\leqslant0\\y\lt0\end{cases}$，即$\begin{cases}2m - 4\leqslant0&③\\-m - 2\lt0&④\end{cases}$
解不等式③：
$2m-4\leqslant0$
移项得$2m\leqslant4$
两边同时除以$2$，解得$m\leqslant2$。
解不等式④：
$-m - 2\lt0$
移项得$-m\lt2$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$m\gt - 2$。
所以$m$的取值范围是$-2\lt m\leqslant2$。
【答案】：
(1)$\begin{cases}x = 2m - 4\\y=-m - 2\end{cases}$；
(2)$-2\lt m\leqslant2$

20. 已知关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+4}{3}＞\frac {x}{2}+1,\enclose{circle} {1}\\ x-a＜0.\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $
(1)当$a=3$时,解这个不等式组;
(2)若不等式组的解集是$x＜1$,求$a$的值.

答案： 【解析】：
(1) 首先解不等式①：
对$\frac{x + 4}{3}＞\frac{x}{2}+1$，去分母，两边同时乘以$6$得$2(x + 4)＞3x+6$。
去括号得$2x+8＞3x + 6$。
移项得$2x-3x＞6 - 8$。
合并同类项得$-x＞-2$。
系数化为$1$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x＜2$。
当$a = 3$时，解不等式②$x - a＜0$，即$x-3＜0$，移项可得$x＜3$。
综合两个不等式的解，取交集，因为$x＜2$与$x＜3$，同小取小，所以不等式组的解集为$x＜2$。
(2) 解不等式①$\frac{x + 4}{3}＞\frac{x}{2}+1$，同样去分母得$2(x + 4)＞3x+6$，去括号得$2x+8＞3x + 6$，移项得$2x-3x＞6 - 8$，合并同类项得$-x＞-2$，系数化为$1$得$x＜2$。
解不等式②$x - a＜0$，移项得$x＜a$。
因为不等式组的解集是$x＜1$，根据“同小取小”的原则，可知$a = 1$。
【答案】：
(1)$x＜2$；
(2)$a = 1$