《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

16. 一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分 3 件,则剩余 4 件;若前面每人分 4 件,则最后一人得到的玩具不足 3 件,求小朋友的人数与玩具数.

答案： 【解析】：设小朋友的人数为$x$人。
根据“若每人分$3$件，则剩余$4$件”，可知玩具数为$(3x + 4)$件。
再根据“若前面每人分$4$件，则最后一人得到的玩具不足$3$件”，可得到不等式组：
$\begin{cases}3x + 4-4(x - 1)＞0\\3x + 4-4(x - 1)＜3\end{cases}$
解第一个不等式$3x + 4-4(x - 1)＞0$：
去括号得$3x + 4-4x + 4＞0$，
合并同类项得$-x+8＞0$，
移项得$-x＞-8$，
两边同时除以$-1$，不等号变向，得$x ＜ 8$。
解第二个不等式$3x + 4-4(x - 1)＜3$：
去括号得$3x + 4-4x + 4＜3$，
合并同类项得$-x + 8＜3$，
移项得$-x＜3 - 8$，
即$-x＜-5$，
两边同时除以$-1$，不等号变向，得$x＞5$。
所以不等式组的解集为$5 ＜ x ＜ 8$。
因为$x$为小朋友的人数，只能为正整数，所以$x = 6$或$x = 7$。
当$x = 6$时，玩具数为$3x+4=3\times6 + 4=18 + 4 = 22$（件）；
当$x = 7$时，玩具数为$3x + 4=3\times7+4=21 + 4 = 25$（件）。
【答案】：小朋友的人数为$6$人时，玩具数为$22$件；或小朋友的人数为$7$人时，玩具数为$25$件。

17. 某园林的门票每张 10 元,一次使用. 考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年). 年票分 A,B,C 三类:A 类年票每张 120 元,持票者进入园林时,无须再买门票;B 类年票每张 60 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次 2 元;C 类年票每张 40 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次 3 元.
(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式;
(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买 A 类年票比较合算.

答案： 【解析】：
(1)分别计算用$80$元按不同购票方式可进入园林的次数：
若不购买年票，门票每张$10$元，设可进入园林$x$次，根据总价$=$单价$\times$数量，可得$10x = 80$，解得$x = 8$次。
若购买$B$类年票，$B$类年票每张$60$元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次$2$元。设可进入园林$y$次，那么花费为年票费用加上每次进入的门票费用，即$60 + 2y = 80$，移项可得$2y=80 - 60$，$2y = 20$，解得$y = 10$次。
若购买$C$类年票，$C$类年票每张$40$元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次$3$元。设可进入园林$z$次，花费为年票费用加上每次进入的门票费用，即$40+3z = 80$，移项可得$3z=80 - 40$，$3z = 40$，解得$z=\frac{40}{3}\approx13.33$次，因为次数为整数，所以$z = 13$次。
比较$8$，$10$，$13$的大小，可得$13\gt10\gt8$，所以购买$C$类年票进入园林的次数最多。
(2)设一年中进入该园林$x$次时，购买$A$类年票比较合算。
购买$A$类年票花费$120$元；购买$B$类年票花费$(60 + 2x)$元；购买$C$类年票花费$(40 + 3x)$元；不购买年票花费$10x$元。
要使购买$A$类年票比较合算，则需满足$\begin{cases}120\lt60 + 2x\\120\lt40 + 3x\\120\lt10x\end{cases}$
解不等式$120\lt60 + 2x$，移项可得$2x\gt120 - 60$，$2x\gt60$，解得$x\gt30$。
解不等式$120\lt40 + 3x$，移项可得$3x\gt120 - 40$，$3x\gt80$，解得$x\gt\frac{80}{3}\approx26.67$。
解不等式$120\lt10x$，解得$x\gt12$。
综合以上三个不等式的解，取它们的交集，因为$30\gt\frac{80}{3}\gt12$，所以$x\gt30$，即一年中进入该园林至少超过$30$次时，购买$A$类年票比较合算。
【答案】：
(1)购买$C$类年票；
(2)$30$次