《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

18. 如图是中国象棋棋盘的一半,棋子走的规则是沿“日”形的对角线走. 例如:图中的可以从它所在的位置直接走到点 $ A $,点 $ B $ 或点 $ C $ 处.

(1)若建立平面直角坐标系,使所在的点表示为 $ (0,0) $,所在的点表示为 $ (-3,0) $,则所在的点可以表示为______(2,2);
(2)在(1)的条件下,若从现在的位置走到的位置,请按走的规则,写出一条你认为合理的路线(用坐标表示).(0,0)→(1,2)→(2,2)

答案： 【解析】：
1. 首先根据已知点的坐标确定坐标轴和单位长度：
已知棋子“帅”所在的点表示为$(0,0)$，棋子“炮”所在的点表示为$( - 3,0)$，说明以“帅”为坐标原点，水平向右为$x$轴正方向，水平向左为$x$轴负方向，且每一小格的边长为$1$个单位长度，垂直向上为$y$轴正方向，垂直向下为$y$轴负方向。
观察“相”的位置，“相”在$x$轴正方向上距离原点$2$个单位长度，在$y$轴正方向上距离原点$2$个单位长度。
根据平面直角坐标系中坐标的定义，点的坐标是用$(x,y)$表示，其中$x$表示横坐标，$y$表示纵坐标，所以“相”所在的点可以表示为$(2,2)$。
2. 然后根据棋子走的规则确定从“帅”到“相”的路线：
棋子走的规则是沿“日”形的对角线走。
从$(0,0)$出发，第一步走到$(1,2)$（沿“日”形对角线走），第二步从$(1,2)$走到$(2,2)$（沿“日”形对角线走）。
【答案】：
(1)$(2,2)$；
(2)$(0,0)\to(1,2)\to(2,2)$

19. 在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标是 $ (3a - 5,a + 1) $.
(1)若点 $ A $ 在 $ y $ 轴上,求 $ a $ 的值及点 $ A $ 的坐标;
(2)若点 $ A $ 到 $ x $ 轴的距离与到 $ y $ 轴的距离相等,且点 $ A $ 在 $ y $ 轴的右侧,求 $ a $ 的值及点 $ A $ 的坐标.

答案： 【解析】：
(1) 因为点$A$在$y$轴上，那么点$A$的横坐标为$0$。
已知点$A$的坐标是$(3a - 5,a + 1)$，所以$3a - 5 = 0$，
移项可得$3a=5$，解得$a=\frac{5}{3}$。
把$a = \frac{5}{3}$代入$a + 1$得：$a + 1=\frac{5}{3}+1=\frac{5 + 3}{3}=\frac{8}{3}$，
所以点$A$的坐标为$(0,\frac{8}{3})$。
(2) 因为点$A$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离相等，且点$A$在$y$轴右侧，所以点$A$的横坐标与纵坐标相等或互为相反数，且横坐标大于$0$。
点$A$到$x$轴的距离为$\vert a + 1\vert$，到$y$轴的距离为$\vert3a - 5\vert$，又因为点$A$在$y$轴右侧，所以$3a - 5＞0$，即$3a＞5$，$a＞\frac{5}{3}$。
则有$3a - 5 = a + 1$或$3a - 5=-(a + 1)$。
当$3a - 5 = a + 1$时，
移项可得$3a - a=1 + 5$，
即$2a=6$，解得$a = 3$。
此时$3a - 5=3\times3 - 5=9 - 5 = 4$，$a + 1=3 + 1 = 4$，点$A$的坐标为$(4,4)$。
当$3a - 5=-(a + 1)$时，
去括号得$3a - 5=-a - 1$，
移项可得$3a + a=-1 + 5$，
即$4a=4$，解得$a = 1$，但$1＜\frac{5}{3}$，不满足点$A$在$y$轴右侧这个条件，舍去。
【答案】：
(1)$a=\frac{5}{3}$，$A(0,\frac{8}{3})$；
(2)$a = 3$，$A(4,4)$