《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

15. 关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x-3＞0,\\ x-2a＜3\end{array}\right. $恰好有 2 个整数解,则实数$a$的取值范围是$0\lt a\leqslant \frac{1}{2}$.

答案： $0\lt a\leqslant \frac{1}{2}$

16. 解不等式组$\left\{\begin{array}{l} 3(x+1)＞5x+4,\\ \frac {x-1}{2}≤\frac {2x-1}{3},\end{array}\right. $并将解集在数轴上表示出来.

答案： 【解析】：
本题可先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示出来。
- **步骤一：解不等式$3(x + 1) \gt 5x + 4$。**
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，将不等式左边的括号展开可得：
$3x + 3 \gt 5x + 4$
移项，将含有$x$的项移到一边，常数项移到另一边，得到：
$3x - 5x \gt 4 - 3$
合并同类项可得：
$-2x \gt 1$
不等式两边同时除以$-2$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：
$x \lt -\frac{1}{2}$
- **步骤二：解不等式$\frac{x - 1}{2} \leq \frac{2x - 1}{3}$。**
为了去掉分母，给不等式两边同时乘以$6$（$2$和$3$的最小公倍数），得到：
$6\times\frac{x - 1}{2} \leq 6\times\frac{2x - 1}{3}$
化简可得：
$3(x - 1) \leq 2(2x - 1)$
再根据乘法分配律将括号展开：
$3x - 3 \leq 4x - 2$
移项可得：
$3x - 4x \leq -2 + 3$
合并同类项可得：
$-x \leq 1$
不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：
$x \geq -1$
- **步骤三：求不等式组的解集。**
由步骤一可知不等式$3(x + 1) \gt 5x + 4$的解集为$x \lt -\frac{1}{2}$，由步骤二可知不等式$\frac{x - 1}{2} \leq \frac{2x - 1}{3}$的解集为$x \geq -1$。
所以不等式组的解集为这两个解集的交集，即$-1 \leq x \lt -\frac{1}{2}$。
- **步骤四：在数轴上表示解集。**
在数轴上找到$-1$和$-\frac{1}{2}$对应的点，因为$x \geq -1$，所以在$-1$处用实心圆点表示；因为$x \lt -\frac{1}{2}$，所以在$-\frac{1}{2}$处用空心圆点表示，然后在这两个点之间画线段表示解集。
【答案】：$-1 \leq x \lt -\frac{1}{2}$，数轴表示：在数轴上找到$-1$（实心点）和$-\frac{1}{2}$（空心点），连接两点间的线段即为解集范围。

17. 已知不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-3(x-2)≤4,\\ \frac {a+2x}{3}＞x-1\end{array}\right. $的解集为$1≤x＜2$,求$a$的值.

答案： 【解析】：
本题可先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集求出$a$的值。
- **步骤一：求解不等式$x - 3(x - 2) \leq 4$的解集。**
去括号：根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，可得$x - 3x + 6 \leq 4$。
移项：将常数项$6$移到不等式右边，变为$x - 3x \leq 4 - 6$。
合并同类项：计算可得$-2x \leq -2$。
系数化为$1$：不等式两边同时除以$-2$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得$x \geq 1$。
- **步骤二：求解不等式$\frac{a + 2x}{3} \gt x - 1$的解集。**
去分母：不等式两边同时乘以$3$，得到$a + 2x \gt 3(x - 1)$。
去括号：根据乘法分配律可得$a + 2x \gt 3x - 3$。
移项：将含$x$的项移到不等式一边，常数项移到另一边，得到$2x - 3x \gt -3 - a$。
合并同类项：计算可得$-x \gt -3 - a$。
系数化为$1$：不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得$x \lt 3 + a$。
- **步骤三：确定不等式组的解集。**
由步骤一可知不等式$x - 3(x - 2) \leq 4$的解集为$x \geq 1$，由步骤二可知不等式$\frac{a + 2x}{3} \gt x - 1$的解集为$x \lt 3 + a$，所以不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 2) \leq 4 \\ \frac{a + 2x}{3} \gt x - 1 \end{cases}$的解集为$1\leq x \lt 3 + a$。
- **步骤四：根据已知解集求$a$的值。**
已知不等式组的解集为$1\leq x \lt 2$，结合步骤三得到的解集$1\leq x \lt 3 + a$，可得$3 + a = 2$。
移项可得$a = 2 - 3 = -1$。
【答案】：$-1$

18. 已知关于$x,y$的方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y=2m+1,\\ x-2y=4m-3\end{array}\right. $的解是一对正数. 试确定$m$的取值范围.$\dfrac{1}{3}\lt m\lt 2$

答案： 【解析】：
本题可先求解方程组，再根据方程组的解是一对正数列出关于$m$的不等式组，最后求解不等式组得到$m$的取值范围。
- **步骤一：求解方程组$\begin{cases}x + 2y = 2m + 1 \\x - 2y = 4m - 3\end{cases}$。**
将方程组中两个方程相加，可消去$y$：
$(x + 2y)+(x - 2y)=(2m + 1)+(4m - 3)$
$x + 2y + x - 2y = 2m + 1 + 4m - 3$
$2x = 6m - 2$
两边同时除以$2$，可得$x = 3m - 1$。
将方程组中两个方程相减，可消去$x$：
$(x + 2y)-(x - 2y)=(2m + 1)-(4m - 3)$
$x + 2y - x + 2y = 2m + 1 - 4m + 3$
$4y = -2m + 4$
两边同时除以$4$，可得$y = \dfrac{-2m + 4}{4}=\dfrac{-m + 2}{2}$。
- **步骤二：根据方程组的解是一对正数列出关于$m$的不等式组。**
因为方程组的解$x$、$y$是一对正数，所以$x\gt0$且$y\gt0$，即$\begin{cases}3m - 1\gt 0 \\ \dfrac{-m + 2}{2}\gt 0 \end{cases}$。
- **步骤三：分别求解不等式组中的两个不等式。**
解不等式$3m - 1\gt 0$：
移项可得$3m\gt 1$，两边同时除以$3$，解得$m\gt \dfrac{1}{3}$。
解不等式$\dfrac{-m + 2}{2}\gt 0$：
两边同时乘以$2$，可得$-m + 2\gt 0$，移项可得$-m\gt -2$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$m\lt 2$。
- **步骤四：确定不等式组的解集。**
综合两个不等式的解$m\gt \dfrac{1}{3}$和$m\lt 2$，可得不等式组的解集为$\dfrac{1}{3}\lt m\lt 2$。
【答案】：$\dfrac{1}{3}\lt m\lt 2$