《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

21. 如图1,直线EF上有两点A,C,分别引两条射线AB,CD,$∠BAF=110^{\circ }$,CD与AB在直线EF异侧.
(1)若$∠DCF=70^{\circ }$,试判断射线AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,若$∠DCF=60^{\circ }$,射线AB,CD分别绕点A,点C以$1^{\circ }/s$和$6^{\circ }/s$的速度同时顺时针转动,设转动时间为t s,在射线CD转动一周的时间内,是否存在某一时刻,使得CD与AB平行? 若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由.
(1)AB//CD，理由：因为$∠BAF=110^{\circ }$，所以$∠BAC=70^{\circ }$，又$∠DCF=70^{\circ }$，$∠BAC=∠DCF$，根据“同位角相等，两直线平行”，得$AB//CD$。
(2)存在，$\frac{50}{7}$或$\frac{230}{7}$。

答案： 【解析】：
### $(1)$判断射线$AB$与$CD$的位置关系
已知$\angle BAF = 110^{\circ}$，根据邻补角的定义，$\angle BAF+\angle BAC = 180^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle BAF = 180^{\circ}- 110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为$\angle DCF = 70^{\circ}$，所以$\angle BAC=\angle DCF$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
### $(2)$判断是否存在$t$使$CD// AB$
已知$\angle BAF = 110^{\circ}$，$\angle DCF = 60^{\circ}$，射线$AB$绕点$A$以$1^{\circ}/s$的速度顺时针转动，射线$CD$绕点$C$以$6^{\circ}/s$的速度顺时针转动。
转动$t$秒后，$\angle BAF$转动后的角度为$(110 - t)^{\circ}$，$\angle DCF$转动后的角度为$(60 + 6t)^{\circ}$。
当$AB// CD$时，分两种情况讨论：
**情况一：**
根据“同位角相等，两直线平行”，此时$110 - t=60 + 6t$。
移项可得：$6t + t=110 - 60$，即$7t = 50$，解得$t=\frac{50}{7}$。
**情况二：**
当$AB$与$CD$转动到另一侧时，$110 - t+360-(60 + 6t)=180$（此时$AB$与$CD$形成的同位角关系是$AB$转过的角度加上$360^{\circ}$再减去$CD$转过的角度等于$180^{\circ}$）。
去括号得：$110 - t+360 - 60 - 6t = 180$。
合并同类项得：$360 + 110 - 60-(t + 6t)=180$，即$410-7t = 180$。
移项得：$7t = 410 - 180$，$7t = 230$，解得$t=\frac{230}{7}$。
因为$CD$转动一周的时间为$360\div6 = 60s$，$\frac{50}{7}\lt60$，$\frac{230}{7}\lt60$，所以$t$的值符合题意。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{AB// CD}$，理由：因为$\angle BAF = 110^{\circ}$，所以$\angle BAC = 70^{\circ}$，又$\angle DCF = 70^{\circ}$，$\angle BAC=\angle DCF$，根据“同位角相等，两直线平行”，得$AB// CD$。
$(2)$存在，$\boldsymbol{t}$的值为$\boldsymbol{\frac{50}{7}}$或$\boldsymbol{\frac{230}{7}}$。

列车相遇
上海到杭州的铁路上,两地火车站从早上6点起,每隔1小时向对方发一列火车,单趟行程需3小时.现在有一列火车上午9点从杭州出发,在它抵达上海的过程中,会遇到几列从上海发往杭州的火车?
7

答案： 【解析】：通过观察图中从杭州 9 点出发的列车与从上海发往杭州列车的交叉点数量来确定相遇列车数。
【答案】：7 列