《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. 有一个两位数,个位上的数字为$a$,十位上的数字为$b$,如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调,得到的两位数大于原来的两位数,那么$a$与$b$哪个大?

答案： 【解析】：原来的两位数为$10b + a$，个位与十位数字对调后的新两位数为$10a + b$。已知对调后得到的两位数大于原来的两位数，则可列出不等式$10a + b＞10b + a$。对不等式进行移项可得：$10a - a＞10b - b$，即$9a＞9b$，两边同时除以$9$，得到$a ＞ b$。
【答案】：$a$大

20. 比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”“＜”或“=”).
(1)$3^{2}+4^{2}$＞$2×3×4$;
(2)$2^{2}+2^{2}$=$2×2×2$;
(3)$1^{2}+(\frac {3}{4})^{2}$＞$2×1×\frac {3}{4}$;
(4)$(-2)^{2}+5^{2}$＞$2×(-2)×5$;
(5)$(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {2}{3})^{2}$＞$2×\frac {1}{2}×\frac {2}{3}$.
通过观察上面的算式,请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律.$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$（当且仅当$a = b$时取等号）

答案： 【解析】：
本题可先分别计算出每小题中两个算式的结果，再比较它们的大小，最后根据这些算式的特点总结出一般规律。
### （1）比较$3^{2}+4^{2}$与$2×3×4$的大小：
- 计算$3^{2}+4^{2}$：
根据乘方的运算法则，$3^{2}=3\times3 = 9$，$4^{2}=4\times4 = 16$，则$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$。
- 计算$2×3×4$：
$2×3×4 = 6×4 = 24$。
因为$25\gt 24$，所以$3^{2}+4^{2}\gt 2×3×4$。
### （2）比较$2^{2}+2^{2}$与$2×2×2$的大小：
- 计算$2^{2}+2^{2}$：
$2^{2}=2\times2 = 4$，则$2^{2}+2^{2}=4 + 4 = 8$。
- 计算$2×2×2$：
$2×2×2 = 4×2 = 8$。
因为$8 = 8$，所以$2^{2}+2^{2}= 2×2×2$。
### （3）比较$1^{2}+(\frac {3}{4})^{2}$与$2×1×\frac {3}{4}$的大小：
- 计算$1^{2}+(\frac {3}{4})^{2}$：
$1^{2}=1$，$(\frac {3}{4})^{2}=\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，则$1^{2}+(\frac {3}{4})^{2}=1 + \frac{9}{16}=\frac{16}{16}+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$。
- 计算$2×1×\frac {3}{4}$：
$2×1×\frac {3}{4} = 2\times\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{24}{16}$。
因为$\frac{25}{16}\gt\frac{24}{16}$，所以$1^{2}+(\frac {3}{4})^{2}\gt 2×1×\frac {3}{4}$。
### （4）比较$(-2)^{2}+5^{2}$与$2×(-2)×5$的大小：
- 计算$(-2)^{2}+5^{2}$：
$(-2)^{2}=(-2)\times(-2) = 4$，$5^{2}=5\times5 = 25$，则$(-2)^{2}+5^{2}=4 + 25 = 29$。
- 计算$2×(-2)×5$：
$2×(-2)×5 = -4×5 = -20$。
因为$29\gt -20$，所以$(-2)^{2}+5^{2}\gt 2×(-2)×5$。
### （5）比较$(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {2}{3})^{2}$与$2×\frac {1}{2}×\frac {2}{3}$的大小：
- 计算$(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {2}{3})^{2}$：
$(\frac {1}{2})^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$(\frac {2}{3})^{2}=\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，则$(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {2}{3})^{2}=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}=\frac{9}{36}+\frac{16}{36}=\frac{25}{36}$。
- 计算$2×\frac {1}{2}×\frac {2}{3}$：
$2×\frac {1}{2}×\frac {2}{3} = 1\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}=\frac{24}{36}$。
因为$\frac{25}{36}\gt\frac{24}{36}$，所以$(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {2}{3})^{2}\gt 2×\frac {1}{2}×\frac {2}{3}$。
### 总结一般规律：
通过观察上述算式，我们发现对于任意实数$a$、$b$，都有$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
【答案】：（1）$＞$；（2）$=$；（3）$＞$；（4）$＞$；（5）$＞$；$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$（当且仅当$a = b$时取等号）