《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

18. 某校计划购买篮球、排球共 20 个. 购买 2 个篮球,3 个排球,共需花费 190 元;购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同.
(1)篮球和排球的单价各是多少元?
(2)若购买篮球不少于 8 个,所需费用总额不超过 800 元. 请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案.

答案： 【解析】：
(1)设篮球每个$x$元，排球每个$y$元。
根据“购买$2$个篮球，$3$个排球，共需花费$190$元”可列方程$2x + 3y = 190$；
根据“购买$3$个篮球的费用与购买$5$个排球的费用相同”可列方程$3x = 5y$。
联立方程组$\begin{cases}2x + 3y = 190\\3x = 5y\end{cases}$，
由$3x = 5y$可得$x=\dfrac{5}{3}y$，
将$x=\dfrac{5}{3}y$代入$2x + 3y = 190$中，得到$2\times\dfrac{5}{3}y+3y = 190$，
$\dfrac{10}{3}y + 3y = 190$，通分得到$\dfrac{10y+9y}{3}=190$，即$\dfrac{19y}{3}=190$，
解得$y = 30$。
把$y = 30$代入$x=\dfrac{5}{3}y$，得$x=\dfrac{5}{3}\times30 = 50$。
所以篮球每个$50$元，排球每个$30$元。
(2)设购买篮球$m$个，则购买排球$(20 - m)$个。
因为购买篮球不少于$8$个，所以$m\geqslant8$。
所需费用总额不超过$800$元，根据费用关系可列不等式$50m+30(20 - m)\leqslant800$，
去括号得$50m + 600-30m\leqslant800$，
移项得$50m-30m\leqslant800 - 600$，
合并同类项得$20m\leqslant200$，
解得$m\leqslant10$。
所以$8\leqslant m\leqslant10$，
因为$m$为整数，所以$m$的值为$8$，$9$，$10$。
当$m = 8$时，$20 - m=20 - 8 = 12$；
当$m = 9$时，$20 - m=20 - 9 = 11$；
当$m = 10$时，$20 - m=20 - 10 = 10$。
所以共有三种购买方案：
方案一：购买篮球$8$个，排球$12$个；
方案二：购买篮球$9$个，排球$11$个；
方案三：购买篮球$10$个，排球$10$个。
分别计算三种方案的费用：
方案一费用：$50\times8 + 30\times12=400+360 = 760$（元）；
方案二费用：$50\times9+30\times11 = 450+330 = 780$（元）；
方案三费用：$50\times10+30\times10 = 500+300 = 800$（元）。
因为$760\lt780\lt800$，所以最省钱的购买方案是购买篮球$8$个，排球$12$个。
【答案】：
(1)篮球每个$50$元，排球每个$30$元；
(2)购买方案有：方案一：购买篮球$8$个，排球$12$个；方案二：购买篮球$9$个，排球$11$个；方案三：购买篮球$10$个，排球$10$个；最省钱的购买方案是购买篮球$8$个，排球$12$个。

19. 某礼品店准备购进 A,B 两种纪念品,每个 A 种纪念品比每个 B 种纪念品的进价少 20 元,购买 9 个 A 种纪念品所需的费用和购买 7 个 B 种纪念品所需的费用一样,请解答下列问题:
(1)A,B 两种纪念品每个进价各是多少元?
(2)若该礼品店购进 B 种纪念品的个数比购进 A 种纪念品的个数的 2 倍还多 5 个,且购进 A 种纪念品不少于 18 个,购进 A,B 两种纪念品的总费用不超过 5450 元,则该礼品店有哪几种进货方案?

答案： 【解析】：
(1)设$A$种纪念品每个进价是$x$元，因为每个$A$种纪念品比每个$B$种纪念品的进价少$20$元，所以$B$种纪念品每个进价是$(x + 20)$元。
已知购买$9$个$A$种纪念品所需的费用和购买$7$个$B$种纪念品所需的费用一样，可列方程$9x=7(x + 20)$。
解方程：
$\begin{aligned}9x&=7(x + 20)\\9x&=7x+140\\9x-7x&=140\\2x&=140\\x&=70\end{aligned}$
则$B$种纪念品每个进价是$x + 20=70 + 20 = 90$（元）。
(2)设购进$A$种纪念品$m$个，因为购进$B$种纪念品的个数比购进$A$种纪念品的个数的$2$倍还多$5$个，所以购进$B$种纪念品$(2m + 5)$个。
已知购进$A$种纪念品不少于$18$个，即$m\geqslant18$；购进$A$，$B$两种纪念品的总费用不超过$5450$元，$A$种纪念品每个进价$70$元，$B$种纪念品每个进价$90$元，可列不等式$70m+90(2m + 5)\leqslant5450$。
解不等式：
$\begin{aligned}70m+90(2m + 5)&\leqslant5450\\70m+180m+450&\leqslant5450\\250m+450&\leqslant5450\\250m&\leqslant5450 - 450\\250m&\leqslant5000\\m&\leqslant20\end{aligned}$
结合$m\geqslant18$，所以$18\leqslant m\leqslant20$。
因为$m$为整数，所以$m$的值为$18$，$19$，$20$。
当$m = 18$时，$2m+5=2\times18 + 5=36 + 5 = 41$；
当$m = 19$时，$2m+5=2\times19+5=38 + 5 = 43$；
当$m = 20$时，$2m+5=2\times20+5=40 + 5 = 45$。
【答案】：
(1)$A$种纪念品每个进价是$70$元，$B$种纪念品每个进价是$90$元；
(2)有三种进货方案：方案一，购进$A$种纪念品$18$个，$B$种纪念品$41$个；方案二，购进$A$种纪念品$19$个，$B$种纪念品$43$个；方案三，购进$A$种纪念品$20$个，$B$种纪念品$45$个。