《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

20. 如图 1,将三角形 ABD 平移,使点 D 沿 BD 的延长线移至点 C 得到三角形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } D ^ { \prime } $, $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $ 交 AC 于点 E,AD 平分 $ \angle B A C $.
(1)猜想 $ \angle B ^ { \prime } E C $ 与 $ \angle A ^ { \prime } $ 之间的数量关系,并说明理由;
猜想：$\angle B'EC = 2\angle A'$
理由：因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAC = 2\angle BAD$。由平移的性质，得$\angle BAD = \angle A'$，$AB// A'B'$，所以$\angle B'EC = \angle BAC$。所以$\angle B'EC = 2\angle A'$。
(2)若将三角形 ABD 平移至如图 2 的位置,得到三角形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } D ^ { \prime } $,请问: $ A ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 平分 $ \angle B ^ { \prime } A ^ { \prime } C $ 吗? 为什么?
$A'D'$平分$\angle B'A'C$
理由：由平移的性质，得$\angle B'A'D' = \angle BAD$，$AB// A'B'$，所以$\angle BAC = \angle B'A'C$。因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$。所以$\angle B'A'D'=\frac{1}{2}\angle B'A'C$。所以$A'D'$平分$\angle B'A'C$。

答案：

解：
(1)$\angle B'EC = 2\angle A'$.

理由：因为$AD$平分$\angle BAC$，

所以$\angle BAC = 2\angle BAD$.

由平移的性质，得$\angle BAD = \angle A'$，$AB// A'B'$，

所以$\angle B'EC = \angle BAC$.

所以$\angle B'EC = 2\angle A'$.

(2)$A'D'$平分$\angle B'A'C$.

理由：由平移的性质，得

$\angle B'A'D' = \angle BAD$，$AB// A'B'$，

所以$\angle BAC = \angle B'A'C$.

因为$AD$平分$\angle BAC$，

所以$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$.

所以$\angle B'A'D'=\frac{1}{2}\angle B'A'C$.

所以$A'D'$平分$\angle B'A'C$.

不断生长的草
有一个牧场,已知养牛 27 头,6 天把草吃尽;养牛 23 头,9 天把草吃尽.如果养牛 21 头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢? 并且,牧场上的草是不断生长的.

答案： 【解析】：本题可先根据已知条件分别算出不同数量的牛在不同天数所吃的牧草总量，通过两者的差值求出每天新长的草量，进而求出牧场原有的草量。因为每天新长的草量可供一定数量的牛吃，所以用总牛数减去吃新长草的牛数，得到吃原牧场草的牛数，再用原牧场草量除以吃原牧场草的牛数，即可求出把牧场上的草吃尽的天数。具体计算过程如下：
把一头牛一天吃的牧草看作$1$，$27$头牛$6$天所吃的牧草为$27\times6 = 162$，这$162$包括牧场原有的草和$6$天新长的草；$23$头牛$9$天所吃的牧草为$23\times9 = 207$，这$207$包括牧场原有的草和$9$天新长的草。
用$23$头牛$9$天吃的牧草总量减去$27$头牛$6$天吃的牧草总量，再除以天数差$(9 - 6)$，可得到$1$天新长的草为$(207 - 162)\div(9 - 6) = 15$。
用$27$头牛$6$天吃的牧草总量减去$6$天新长的草量$15\times6$，可得到牧场上原有的草为$27\times6 - 15\times6 = 72$。
由于每天新长的草足够$15$头牛吃，那么$21$头牛中，有$15$头牛吃每天新长的草，剩下$21 - 15 = 6$头牛吃原牧场的草。用原牧场的草量$72$除以吃原牧场草的牛数$6$，可得到吃原牧场草的天数为$72\div(21 - 15) = 72\div6 = 12$天。
【答案】：$12$天