《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

25. (10分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-1,0),(3,0)$,同时将点A,B先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,分别得到对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1) 求点C,D的坐标和四边形ABDC的面积;
点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(4,2)，四边形ABDC的面积为8。
(2) 在坐标轴上是否存在点P,使$S_{三角形PAC}=S_{四边形ABDC}$?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
存在，点P的坐标为(7,0)或(-9,0)或(0,18)或(0,-14)。

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$C$，$D$的坐标和四边形$ABDC$的面积
**求点$C$，$D$的坐标：**
已知点平移规律是“上加下减，左减右加”。
点$A(-1,0)$先向上平移$2$个单位长度，再向右平移$1$个单位长度，横坐标$-1 + 1=0$，纵坐标$0 + 2 = 2$，所以$C(0,2)$。
点$B(3,0)$先向上平移$2$个单位长度，再向右平移$1$个单位长度，横坐标$3 + 1 = 4$，纵坐标$0+2 = 2$，所以$D(4,2)$。
**求四边形$ABDC$的面积：**
由平移性质可知$AB// CD$，$AB = CD$，所以四边形$ABDC$是平行四边形。
根据$A(-1,0)$，$B(3,0)$，可得$AB=\vert3 - (-1)\vert=4$，点$C$到$x$轴的距离（即平行四边形$ABDC$的高）$h = 2$。
根据平行四边形面积公式$S = 底\times高$，可得$S_{四边形ABDC}=AB\times2=4\times2 = 8$。
### $(2)$判断在坐标轴上是否存在点$P$，使$S_{\triangle PAC}=S_{四边形ABDC}$
**当点$P$在$x$轴上时：**
设$P(x,0)$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}\times AP\times OC$，$OC = 2$，$AP=\vert x - (-1)\vert=\vert x + 1\vert$。
因为$S_{\triangle PAC}=S_{四边形ABDC}=8$，所以$\frac{1}{2}\times\vert x + 1\vert\times2 = 8$，即$\vert x + 1\vert=8$。
当$x + 1 = 8$时，$x = 7$；当$x + 1=-8$时，$x=-9$，此时$P$点坐标为$(7,0)$或$(-9,0)$。
**当点$P$在$y$轴上时：**
设$P(0,y)$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}\times CP\times OA$，$OA = 1$，$CP=\vert y - 2\vert$。
因为$S_{\triangle PAC}=8$，所以$\frac{1}{2}\times\vert y - 2\vert\times1 = 8$，即$\vert y - 2\vert=16$。
当$y - 2 = 16$时，$y = 18$；当$y - 2=-16$时，$y=-14$，此时$P$点坐标为$(0,18)$或$(0,-14)$。
综上，存在点$P$，其坐标为$(7,0)$或$(-9,0)$或$(0,18)$或$(0,-14)$。
【答案】：
$(1)$$C(0,2)$，$D(4,2)$，$S_{四边形ABDC}=8$；
$(2)$存在，$P$点坐标为$\boldsymbol{(7,0)}$或$\boldsymbol{(-9,0)}$或$\boldsymbol{(0,18)}$或$\boldsymbol{(0,-14)}$。