《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

18. 小丽购买学习用品的收据如表,因污损导致部分数据无法识别,根据下表,解决下列问题:

(1)小丽购买了自动铅笔1支、记号笔2支?
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具,共花费 15 元,则有哪几种不同的购买方案?
方案一：购买软皮笔记本1本，自动铅笔7支；
方案二：购买软皮笔记本2本，自动铅笔4支；
方案三：购买软皮笔记本3本，自动铅笔1支。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 计算小丽购买自动铅笔、记号笔的数量
设小丽购买了自动铅笔$x$支，记号笔$y$支。
先计算软皮笔记本的单价：已知软皮笔记本数量是$2$，金额是$9$元，根据“单价$=$金额$\div$数量”，可得软皮笔记本单价为$9\div2 = 4.5$元。
再计算圆规的金额：圆规单价$3.5$元，数量$1$，根据“金额$=$单价$\times$数量”，可得圆规金额为$3.5\times1=3.5$元。
然后根据数量关系列方程组：
已知购买的总数量是$8$，总金额是$28$元，可得到方程组$\begin{cases}x + y+2 + 2+1 = 8\\1.5x + 4y+6 + 9+3.5 = 28\end{cases}$，化简方程组得$\begin{cases}x + y=3\\1.5x + 4y=9.5\end{cases}$。
由$x + y=3$可得$x = 3 - y$，将其代入$1.5x + 4y=9.5$中，得到$1.5\times(3 - y)+4y=9.5$。
展开括号：$4.5-1.5y + 4y=9.5$。
移项合并同类项：$2.5y=9.5 - 4.5$，即$2.5y=5$，解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$x = 3 - y$，得$x=3 - 2=1$。
### $(2)$ 找出不同的购买方案
设小丽购买软皮笔记本$m$本，自动铅笔$n$支。
已知软皮笔记本单价$4.5$元，自动铅笔单价$1.5$元，共花费$15$元，可得$4.5m + 1.5n=15$，化简得$3m + n = 10$，则$n = 10 - 3m$。
因为$m$、$n$均为正整数：
当$m = 1$时，$n = 10 - 3\times1 = 7$；
当$m = 2$时，$n = 10 - 3\times2 = 4$；
当$m = 3$时，$n = 10 - 3\times3 = 1$。
【答案】：
$(1)$ 小丽购买了自动铅笔$\boldsymbol{1}$支，记号笔$\boldsymbol{2}$支。
$(2)$ 有三种购买方案：
方案一：购买软皮笔记本$\boldsymbol{1}$本，自动铅笔$\boldsymbol{7}$支；
方案二：购买软皮笔记本$\boldsymbol{2}$本，自动铅笔$\boldsymbol{4}$支；
方案三：购买软皮笔记本$\boldsymbol{3}$本，自动铅笔$\boldsymbol{1}$支。

塔顶几盏灯
吴敬是我国明代一位非常著名的数学家,他自幼酷爱数学.
一年元宵节的傍晚,浙江杭州城内外灯火通明,到处是一派欢乐的节日气氛.在钱塘江边的一座亭子里,几位书生对着倒映在江水中五彩缤纷的美丽灯色,一边开怀畅饮,一边轮流吟诗.轮到一位少年时,他腼腆地笑了笑说:“诸位仁兄诗才横溢,妙句连篇,小弟也就不再班门弄斧,就出一道题吧——远望巍巍塔七层,红光盏盏倍加增.共灯三百八十一,试算塔顶几盏灯?”你能做出这道数学名题吗?

答案： 【解析】：本题可通过设未知数，根据“红光盏盏倍加增”这一条件表示出每层灯的数量，再结合灯的总数列出方程求解。
设塔顶有$x$盏灯。
因为“红光盏盏倍加增”，即从塔顶层依次向下每层灯数是上一层的$2$倍，所以从塔顶依次向下每层灯数分别为$x$，$2x$，$4x$，$8x$，$16x$，$32x$，$64x$。
已知七层塔一共有$381$盏灯，则可列出方程：
$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381$
合并同类项可得：
$(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)x = 381$
$127x = 381$
两边同时除以$127$，解得：
$x = 3$
【答案】：$3$盏