《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

18. 如图,已知$A(-1,0)$,$C(1,4)$,点$B$在$x$轴上,且$AB=3$.

(1)点$B$的坐标为$(2,0)$或$(-4,0)$;
(2)三角形$ABC$的面积为$6$;
(3)在$y$轴上是否存在一点$P$,使得以$A$,$B$,$P$为顶点的三角形的面积为$10$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
存在，点$P$的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$.

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$B$的坐标
已知点$A(-1,0)$，点$B$在$x$轴上，设$B(x,0)$。
因为$AB = 3$，根据两点间距离公式$\vert AB\vert=\vert x - (-1)\vert=\vert x + 1\vert$，则$\vert x + 1\vert=3$。
即$x + 1 = 3$或$x + 1=-3$。
当$x + 1 = 3$时，解得$x = 2$；当$x + 1=-3$时，解得$x=-4$。
所以点$B$的坐标为$(2,0)$或$(-4,0)$。
### $(2)$求三角形$ABC$的面积
已知$A(-1,0)$，$C(1,4)$，点$B$在$x$轴上，$AB = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，在$\triangle ABC$中，以$AB$为底，$C$到$x$轴的距离（即$C$点纵坐标的绝对值）为高。
$C$点纵坐标为$4$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times\vert y_{C}\vert$，把$AB = 3$，$\vert y_{C}\vert = 4$代入可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times3\times4 = 6$。
### $(3)$判断在$y$轴上是否存在一点$P$，使得以$A$，$B$，$P$为顶点的三角形的面积为$10$
设$P(0,y)$。
因为$AB = 3$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times AB\times\vert y\vert$。
已知$S_{\triangle ABP}=10$，$AB = 3$，则$\frac{1}{2}\times3\times\vert y\vert=10$。
$\vert y\vert=\frac{20}{3}$，解得$y=\frac{20}{3}$或$y =-\frac{20}{3}$。
所以存在点$P$，点$P$的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(-4,0)}$；
$(2)$$\boldsymbol{6}$；
$(3)$存在，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{20}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-\frac{20}{3})}$。

棋盘中的馬
如右图所示,图中的馬能走遍棋盘中的任何一个位置吗?若不能,指出哪些位置馬无法走到;若能,请说明原因.
提示:馬能走遍棋盘中的任何一个位置,只需说明馬能走到相邻的一个格点即可.

能，因为马走“日”字，通过对棋盘格点类似国际象棋棋盘染色（相邻格点颜色不同），马从一种颜色格点出发可走到另一种颜色格点，且两种颜色格点数量相等（除去马初始位置），相互交错，所以马能走遍棋盘中任何一个位置。

答案： 【解析】：我们可以将棋盘的格点进行染色（类似国际象棋棋盘染色方式），使相邻格点颜色不同。马走“日”字，从一种颜色的格点出发，必然会走到另一种颜色的格点。观察棋盘，我们可以发现棋盘上的格点可以分为两种颜色，且这两种颜色格点数量相等（除去马初始位置）。马从初始位置（设为一种颜色格点）出发，因为要走到相邻格点，而相邻格点是另一种颜色格点，根据马走“日”字的规则，通过不断移动，马可以遍历所有格点。例如，马先走到相邻的另一种颜色格点，然后以这个格点为基础，又可以走到其他不同颜色格点，如此反复，由于两种颜色格点数量相等且相互交错，所以马能走遍棋盘中的任何一个位置。
【答案】：能，因为马走“日”字，通过对棋盘格点类似国际象棋棋盘染色（相邻格点颜色不同），马从一种颜色格点出发可走到另一种颜色格点，且两种颜色格点数量相等（除去马初始位置），相互交错，所以马能走遍棋盘中任何一个位置。