《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. 水果市场将120吨水果运往各地销售,现有甲、乙、丙三种车供选择,每辆车的运载量和运费如下表所示(假设每辆车均满载):
|项目|甲|乙|丙|
|----|----|----|----|
|运载量/(吨/辆)|5|8|10|
|运费/(元/辆)|400|500|600|
(1)若全部水果都用甲、乙两种车来运送,需运费8200元,则分别需要甲、乙两种车各多少辆?
(2)为了节约运费,市场可以调用甲、乙、丙三种车参与运送(每种车至少1辆),已知它们的总辆数为16,则有哪几种运送方案?

答案： 【解析】：
(1)设需要甲车$x$辆，乙车$y$辆。
根据水果总重量为$120$吨，可列方程$5x + 8y=120$；
根据运费为$8200$元，可列方程$400x + 500y = 8200$，即$4x+5y = 82$。
由$5x + 8y=120$可得$x=\frac{120 - 8y}{5}$，将其代入$4x+5y = 82$中：
$4\times\frac{120 - 8y}{5}+5y = 82$
两边同时乘以$5$得：$4\times(120 - 8y)+25y = 410$
去括号得：$480-32y + 25y = 410$
合并同类项得：$480 - 7y = 410$
移项得：$7y = 480 - 410$
即$7y = 70$，解得$y = 10$。
把$y = 10$代入$x=\frac{120 - 8y}{5}$，得$x=\frac{120-8\times10}{5}=\frac{120 - 80}{5}=8$。
(2)设甲车有$a$辆，乙车有$b$辆，则丙车有$(16 - a - b)$辆。
根据水果总重量为$120$吨，可得$5a + 8b+10(16 - a - b)=120$
去括号得：$5a + 8b+160 - 10a - 10b = 120$
合并同类项得：$-5a - 2b=-40$
移项得：$5a + 2b = 40$
则$b = 20-\frac{5a}{2}$。
因为$a$，$b$，$16 - a - b$均为正整数，且$a\geqslant1$，$b\geqslant1$，$16 - a - b\geqslant1$。
由$b = 20-\frac{5a}{2}\gt0$，得$20\gt\frac{5a}{2}$，即$a\lt8$。
又因为$a$是$2$的倍数，所以$a = 2$时，$b = 20-\frac{5\times2}{2}=20 - 5 = 15$，$16 - a - b=16-2 - 15=-1$（舍去）；
$a = 4$时，$b = 20-\frac{5\times4}{2}=20 - 10 = 10$，$16 - a - b=16-4 - 10 = 2$；
$a = 6$时，$b = 20-\frac{5\times6}{2}=20 - 15 = 5$，$16 - a - b=16-6 - 5 = 5$。
【答案】：
(1)需要甲车$8$辆，乙车$10$辆；
(2)有两种运送方案：方案一：甲车$4$辆，乙车$10$辆，丙车$2$辆；方案二：甲车$6$辆，乙车$5$辆，丙车$5$辆。

20. 在解决“已知有理数$x,y,z$满足方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y-z=5,\enclose{circle} {1}\\ x-2y+3z=1,\enclose{circle} {2}\end{array}\right.$求$4x+13y-9z$的值”时,小华是这样分析与解答的.
解:由$\enclose{circle} {1}×a$,得$2ax+3ay-az=5a$.③
由$\enclose{circle} {2}×b$,得$bx-2by+3bz=b$.④
$\enclose{circle} {3}+\enclose{circle} {4}$,得$(2a+b)x+(3a-2b)y+(-a+3b)z=5a+b$.⑤
当$(2a+b)x+(3a-2b)y+(-a+3b)z=4x+13y-9z$时,
即$\left\{\begin{array}{l} 2a+b=4,\\ 3a-2b=13,\\ -a+3b=-9.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=-2.\end{array}\right.$
所以$\enclose{circle} {1}×3+\enclose{circle} {2}×(-2)$,得$4x+13y-9z=5×3+1×(-2)=13$.
请你根据小华的分析过程,解决如下问题:
(1)若有理数$a,b$满足$(3x+4y+2z)×a+(x+6y+5z)×b=12x+2y-5z$,求$a,b$的值;
(2)母亲节将至,小新准备给妈妈购买一束组合鲜花,若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元;购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元.则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元?
(1)$a = 5$，$b=-3$；
(2)12元。

答案： 【解析】：
(1)
由$(3x + 4y + 2z)\times a+(x + 6y + 5z)\times b = 12x + 2y - 5z$，
展开可得$3ax+4ay + 2az+bx+6by+5bz=12x + 2y - 5z$，
整理得$(3a + b)x+(4a + 6b)y+(2a + 5b)z=12x + 2y - 5z$。
则可得方程组$\left\{\begin{array}{l}3a + b=12\\4a + 6b=2\\2a + 5b=-5\end{array}\right.$
由$3a + b=12$可得$b = 12 - 3a$，
将$b = 12 - 3a$代入$4a + 6b=2$中，
$4a+6\times(12 - 3a)=2$，
$4a + 72-18a=2$，
$4a-18a=2 - 72$，
$-14a=-70$，
解得$a = 5$。
把$a = 5$代入$b = 12 - 3a$，得$b=12-3\times5=12 - 15=-3$。
经检验，$a = 5$，$b=-3$也满足$2a + 5b=-5$。
(2)
设红花每枝$x$元，黄花每枝$y$元，粉花每枝$z$元。
根据题意可得方程组$\left\{\begin{array}{l}2x + 3y+z = 18①\\3x + 5y+2z = 28②\end{array}\right.$
由$①\times a$，得$2ax+3ay+az = 18a$ ③
由$②\times b$，得$3bx+5by+2bz = 28b$ ④
$③ + ④$得$(2a + 3b)x+(3a + 5b)y+(a + 2b)z=18a + 28b$
当$(2a + 3b)x+(3a + 5b)y+(a + 2b)z=x + 3y+2z$时，
可得方程组$\left\{\begin{array}{l}2a + 3b=1\\3a + 5b=3\\a + 2b=2\end{array}\right.$
由$2a + 3b=1$可得$2a=1 - 3b$，即$a=\frac{1 - 3b}{2}$。
将$a=\frac{1 - 3b}{2}$代入$a + 2b=2$中，
$\frac{1 - 3b}{2}+2b=2$，
$1 - 3b + 4b = 4$，
$b=3$。
把$b = 3$代入$a=\frac{1 - 3b}{2}$，得$a=\frac{1-3\times3}{2}=\frac{1 - 9}{2}=-4$。
所以$①\times(-4)+②\times3$得：
$x + 3y+2z=18\times(-4)+28\times3$
$x + 3y+2z=-72 + 84$
$x + 3y+2z = 12$。
【答案】：
(1)$a = 5$，$b=-3$；
(2)12元。