《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

21. 已知$OA⊥OB,OC⊥OD$.
(1)如图1,若$∠BOC=50^{\circ }$,求$∠AOD$的度数;$130^{\circ}$
(2)如图2,若$∠BOC=60^{\circ }$,求$∠AOD$的度数;$120^{\circ}$
(3)根据(1)(2)的结果猜想,$∠AOD$与$∠BOC$有怎样的数量关系? 并根据图1说明理由;$∠AOD+∠BOC = 180^{\circ}$
(4)如图2,若$∠BOC:∠AOD=7:29$,求$∠BOC$和$∠AOD$的度数;$∠BOC = 35^{\circ}$，$∠AOD = 145^{\circ}$

答案： 【解析】：
(1) 因为$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，所以$\angle AOB = \angle COD = 90^{\circ}$。
$\angle AOD=\angle AOB+\angle COD - \angle BOC$，将$\angle BOC = 50^{\circ}$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$代入可得：
$\angle AOD=90^{\circ}+90^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
(2) 因为$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，所以$\angle AOB = \angle COD = 90^{\circ}$。
四边形$AOBC$的内角和为$360^{\circ}$，$\angle AOD = 360^{\circ}-\angle AOB-\angle BOC-\angle COD$，将$\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$代入可得：
$\angle AOD=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=120^{\circ}$。
(3) 猜想$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$。
理由：因为$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，所以$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}$。
$\angle AOD=\angle AOB+\angle COD-\angle BOC$，即$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle BOC$，所以$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$。
(4) 设$\angle BOC = 7x$，$\angle AOD = 29x$。
因为$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$，所以$7x + 29x = 180^{\circ}$，$36x = 180^{\circ}$，解得$x = 5^{\circ}$。
则$\angle BOC = 7\times5^{\circ}=35^{\circ}$，$\angle AOD = 29\times5^{\circ}=145^{\circ}$。
【答案】：
(1)$130^{\circ}$
(2)$120^{\circ}$
(3)$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$
(4)$\angle BOC = 35^{\circ}$，$\angle AOD = 145^{\circ}$

“T”变成正方形
如图1所示,四个正方形组成一个“T”字形,你能用四个这样的图形拼成一个正方形吗?

答案：
【解析】：通过对“T”字形图形的形状、边长等特征进行分析，尝试不同的拼接组合方式，发现可以按照一定的规律将四个“T”字形图形进行拼接。
【答案】：能，如图2所示（具体拼接方式见题目中图2）。