《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

21. 规律探索:
先填写下列表格,通过观察后再回答问题.
| a | … | 0.000001 | 0.0001 | 0.01 |
|----|----|----|----|----|
| $\sqrt{a}$ | … | 0.001 | 0.01 | 0.1 |
| a | 1 | 100 | 10000 | … |
| $\sqrt{a}$ | 1 | 10 | 100 | … |
(1)被开方数 a 的小数点位置移动和它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点位置移动有无规律?
有规律，被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动$2n$位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动$n$位$(n$为正整数$)$
(2)已知:$\sqrt{a}=1800,-\sqrt{3.24}=-1.8$,你能求出 a 的值吗?
$a = 3240000$
(3)试比较$\sqrt{a}$与 a 的大小.
当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0\lt a\lt1$时，$\sqrt{a}\gt a$；当$a\gt1$时，$\sqrt{a}\lt a$

答案： 【解析】：
1. 首先计算表格中$\sqrt{a}$的值：
根据算术平方根的定义，若$x^{2}=a(x\geq0)$，则$x = \sqrt{a}$。
因为$0.001^{2}=0.000001$，所以$\sqrt{0.000001}=0.001$；
因为$0.01^{2}=0.0001$，所以$\sqrt{0.0001}=0.01$；
因为$0.1^{2}=0.01$，所以$\sqrt{0.01}=0.1$；
因为$1^{2}=1$，所以$\sqrt{1}=1$；
因为$10^{2}=100$，所以$\sqrt{100}=10$；
因为$100^{2}=10000$，所以$\sqrt{10000}=100$。
2. 然后分析被开方数$a$的小数点位置移动和它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点位置移动规律：
从$a = 0.000001$到$a = 0.0001$，被开方数$a$的小数点向右移动$4$位，$\sqrt{a}$从$0.001$到$0.01$，小数点向右移动$2$位；从$a = 0.0001$到$a = 0.01$，被开方数$a$的小数点向右移动$2$位，$\sqrt{a}$从$0.01$到$0.1$，小数点向右移动$1$位；从$a = 1$到$a = 100$，被开方数$a$的小数点向右移动$2$位，$\sqrt{a}$从$1$到$10$，小数点向右移动$1$位；从$a = 100$到$a = 10000$，被开方数$a$的小数点向右移动$2$位，$\sqrt{a}$从$10$到$100$，小数点向右移动$1$位。
规律为：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动$2n$位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动$n$位$(n$为正整数$)$。
3. 接着求$a$的值：
已知$-\sqrt{3.24}=-1.8$，则$\sqrt{3.24}=1.8$。
又因为$\sqrt{a}=1800$，$1800$是$1.8$的小数点向右移动$3$位得到的。
根据上述规律，被开方数$a$是$3.24$的小数点向右移动$6$位得到的，所以$a = 3240000$。
4. 最后比较$\sqrt{a}$与$a$的大小：
分三种情况讨论：
当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt{1}=1$，此时$\sqrt{a}=a$；
当$0\lt a\lt1$时，例如$a = 0.01$，$\sqrt{0.01}=0.1$，此时$\sqrt{a}\gt a$；
当$a\gt1$时，例如$a = 100$，$\sqrt{100}=10$，此时$\sqrt{a}\lt a$。
【答案】：
| a | … | 0.000001 | 0.0001 | 0.01 |
|----|----|----|----|----|
| $\sqrt{a}$ | … | 0.001 | 0.01 | 0.1 |
| a | 1 | 100 | 10000 | … |
| $\sqrt{a}$ | 1 | 10 | 100 | … |
(1)有规律，被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动$2n$位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动$n$位$(n$为正整数$)$。
(2)$a = 3240000$。
(3)当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0\lt a\lt1$时，$\sqrt{a}\gt a$；当$a\gt1$时，$\sqrt{a}\lt a$。

22. 阅读题:先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题.
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4};$
……
$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4});\frac{1}{4×6}=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{6});\frac{1}{6×8}=\frac{1}{2}(\frac{1}{6}-\frac{1}{8});$
……
(1)计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}=$$\frac{5}{6}$;
(2)探究$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+... +\frac{1}{n(n + 1)}=$$\frac{n}{n + 1}$(用含有 n 的式子表示);
(3)若$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+... +\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$的值为$\frac{49}{99}$,求 n 的平方根.$\pm7$

答案： 【解析】：
1. 对于（1）：
已知$\frac{1}{1\times2}=1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5\times6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$。
则$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{5\times6}=(1 - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})$。
去括号得：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$。
通过观察可以发现$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$，$-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0$，$-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=0$，所以结果为$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
2. 对于（2）：
由$\frac{1}{1\times2}=1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$，$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
则$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}=(1 - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$。
去括号得：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
中间项相互抵消，结果为$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1-1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$。
3. 对于（3）：
因为$\frac{1}{1\times3}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{3\times5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$，$\frac{1}{5\times7}=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$，$\cdots$，$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$。
所以$\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\cdots+\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$。
括号内中间项相互抵消，得到$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})$。
已知$\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\cdots+\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{49}{99}$，即$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{49}{99}$。
先化简$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{1}{2}\times\frac{2n + 1-1}{2n + 1}=\frac{n}{2n + 1}$。
则$\frac{n}{2n + 1}=\frac{49}{99}$，交叉相乘得$99n = 49\times(2n + 1)$。
展开括号：$99n=98n + 49$。
移项得：$99n-98n = 49$，解得$n = 49$。
因为一个正数$a$的平方根为$\pm\sqrt{a}$，所以$n = 49$的平方根为$\pm\sqrt{49}=\pm7$。
【答案】：（1）$\frac{5}{6}$；（2）$\frac{n}{n + 1}$；（3）$\pm7$