《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

20. 已知 $ x,y $ 同时满足 $ x + 3y = 4 - a,x - 5y = 3a $.
(1)当 $ a = 4 $ 时,求 $ x - y $ 的值;6
(2)试说明对于任意给定的数 $ a,x + y $ 的值始终不变;因为通过计算得出$x + y = 3$，所以对于任意给定的数$a$，$x + y$的值始终不变
(3)若 $ y ＞ 1 - m,3x - 5 \geq m $,且 $ x $ 只能取两个整数,求 $ m $ 的取值范围.$4\lt m\leq5$

答案： 【解析】：
(1)
已知$\begin{cases}x + 3y = 4 - a&①\\x - 5y = 3a&②\end{cases}$
将①$+$②得：
$x + 3y+x - 5y=4 - a + 3a$
$2x-2y = 4 + 2a$
两边同时除以$2$得：$x - y=2 + a$
当$a = 4$时，$x - y=2 + 4=6$。
(2)
由$\begin{cases}x + 3y = 4 - a&①\\x - 5y = 3a&②\end{cases}$
①$\times3+$②得：
$3(x + 3y)+x - 5y=3(4 - a)+3a$
$3x+9y+x - 5y = 12-3a + 3a$
$4x + 4y=12$
两边同时除以$4$得：$x + y = 3$
所以对于任意给定的数$a$，$x + y$的值始终不变，恒为$3$。
(3)
由$x + y = 3$可得$y=3 - x$
因为$y\gt1 - m$，所以$3 - x\gt1 - m$，移项可得$x\lt2 + m$。
由$\begin{cases}x + 3y = 4 - a&①\\x - 5y = 3a&②\end{cases}$，①$-$②得：
$x + 3y-(x - 5y)=4 - a-3a$
$x + 3y - x + 5y=4 - 4a$
$8y=4 - 4a$，则$y=\frac{1 - a}{2}$
把$y=\frac{1 - a}{2}$代入①得：$x+3\times\frac{1 - a}{2}=4 - a$
$x=4 - a-\frac{3(1 - a)}{2}=\frac{8 - 2a-3 + 3a}{2}=\frac{5 + a}{2}$
又因为$3x-5\geq m$，所以$3x\geq m + 5$，$x\geq\frac{m + 5}{3}$。
所以$\frac{m + 5}{3}\leq x\lt2 + m$。
因为$x$只能取两个整数，所以$x$能取的两个整数为$n$，$n + 1$。
则$\begin{cases}n-1\lt\frac{m + 5}{3}\leq n\\n + 1\lt2 + m\leq n + 2\end{cases}$
由$x + y = 3$，$x$能取两个整数，结合$\frac{m + 5}{3}\leq x\lt2 + m$，可知这两个整数是$4$，$5$。
所以$\begin{cases}3\lt\frac{m + 5}{3}\leq4\\5\lt2 + m\leq6\end{cases}$
解不等式$3\lt\frac{m + 5}{3}$，两边同时乘以$3$得：$9\lt m + 5$，$m\gt4$；
解不等式$\frac{m + 5}{3}\leq4$，两边同时乘以$3$得：$m + 5\leq12$，$m\leq7$；
解不等式$5\lt2 + m$，得$m\gt3$；
解不等式$2 + m\leq6$，得$m\leq4$。
综合可得$4\lt m\leq5$。
【答案】：
(1)$6$；
(2)因为通过计算得出$x + y = 3$，所以对于任意给定的数$a$，$x + y$的值始终不变；
(3)$4\lt m\leq5$

九年级(3)班的学生到阅览室读书,班长问老师要分成几个小组,老师风趣地说:“假如我把 43 本书分给各个小组,若每组 8 本,还有剩余;若每组 9 本,却又不够,你知道该分几个小组了吗?”请你帮助班长分组. 注意解题过程,不能光猜呀!

答案： 【解析】：设小组的数量为$x$个。因为若每组$8$本，还有剩余，这意味着书的总数$43$本大于每组$8$本时的总数，所以可列不等式$8x\lt43$；又因为若每组$9$本，却又不够，即书的总数$43$本小于每组$9$本时的总数，所以可列不等式$9x\gt43$。联立得到不等式组$\begin{cases}8x\lt43\\9x\gt43\end{cases}$，解不等式$8x\lt43$，两边同时除以$8$，可得$x\lt\frac{43}{8}=5\frac{3}{8}$；解不等式$9x\gt43$，两边同时除以$9$，可得$x\gt\frac{43}{9}=4\frac{7}{9}$，所以不等式组的解集为$4\frac{7}{9}\lt x\lt5\frac{3}{8}$。由于$x$表示小组的数量，必须是正整数，在$4\frac{7}{9}$和$5\frac{3}{8}$之间的正整数只有$5$，所以$x = 5$。
【答案】：5组