《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

20. 规定:形如关于$x,y$的方程$x + ky = b$与$kx + y = b$的两个方程互为共轭二元一次方程,其中$k\neq1$. 由这两个方程组成的方程组$\begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases}$叫作共轭方程组.
(1)方程$3x + y = 5$的共轭二元一次方程是$x + 3y = 5$;
(2)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + (1 - a)y = b + 2,\\(2a - 2)x + y = 4 - b\end{cases}$为共轭方程组,求$a,b$的值;$a = 1$，$b = 1$
(3)若方程$x + ky = b$中$x,y$的值满足下表:
|$x$|$-1$|$0$|
|----|----|----|
|$y$|$0$|$2$|
求这个方程的共轭二元一次方程;$-\frac{1}{2}x + y=-1$
(4)解下列方程组(直接写出方程组的解即可).
①$\begin{cases}x + 2y = 3,\\2x + y = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$;②$\begin{cases}3x + 2y = 10,\\2x + 3y = 10\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$;
③$\begin{cases}2x - y = 4,\\-x + 2y = 4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 4\end{cases}$.
结论:若共轭方程组$\begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = m,\\y = n,\end{cases}$请直接写出$m$与$n$的数量关系.$m = n$

答案： 【解析】：
(1)根据共轭二元一次方程的定义，方程$3x + y = 5$的共轭二元一次方程是$x + 3y = 5$。
(2)因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + (1 - a)y = b + 2\\(2a - 2)x + y = 4 - b\end{cases}$为共轭方程组，所以$1 - a=2a - 2$，
移项可得$1 + 2=2a+a$，
即$3a = 3$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入原方程组得$\begin{cases}x=b + 2\\y=4 - b\end{cases}$，又因为两个方程右边相等，所以$b + 2=4 - b$，
移项可得$b + b=4 - 2$，
即$2b = 2$，解得$b = 1$。
(3)把$\begin{cases}x=-1\\y = 0\end{cases}$和$\begin{cases}x = 0\\y = 2\end{cases}$代入$x+ky = b$得$\begin{cases}-1+0\times k=b\\0 + 2k=b\end{cases}$，
由$-1=b$，把$b=-1$代入$2k=b$得$2k=-1$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
所以原方程为$x-\frac{1}{2}y=-1$，其共轭二元一次方程为$-\frac{1}{2}x + y=-1$。
(4)①解方程组$\begin{cases}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{cases}$，
将第一个方程$x + 2y = 3$两边同时乘以$2$得$2x+4y = 6$，
用$2x + 4y = 6$减去$2x + y = 3$得：$2x+4y-(2x + y)=6 - 3$，
$2x+4y - 2x - y=3$，$3y = 3$，解得$y = 1$，
把$y = 1$代入$x + 2y = 3$得$x+2\times1 = 3$，解得$x = 1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$。
②解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 10\\2x + 3y = 10\end{cases}$，
将第一个方程$3x + 2y = 10$两边同时乘以$3$得$9x+6y = 30$，
将第二个方程$2x + 3y = 10$两边同时乘以$2$得$4x+6y = 20$，
用$9x+6y = 30$减去$4x+6y = 20$得：$9x+6y-(4x + 6y)=30 - 20$，
$9x+6y - 4x - 6y=10$，$5x = 10$，解得$x = 2$，
把$x = 2$代入$3x + 2y = 10$得$3\times2+2y = 10$，$6+2y = 10$，$2y = 4$，解得$y = 2$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$。
③解方程组$\begin{cases}2x - y = 4\\-x + 2y = 4\end{cases}$，
将第二个方程$-x + 2y = 4$两边同时乘以$2$得$-2x+4y = 8$，
用$2x - y = 4$加上$-2x+4y = 8$得：$2x - y+(-2x + 4y)=4 + 8$，
$2x - y - 2x + 4y=12$，$3y = 12$，解得$y = 4$，
把$y = 4$代入$2x - y = 4$得$2x-4 = 4$，$2x = 8$，解得$x = 4$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 4\end{cases}$。
结论：若共轭方程组$\begin{cases}x + ky = b\\kx + y = b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$，将$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$代入方程组得$\begin{cases}m+kn = b\\km + n = b\end{cases}$，两式相减得$m+kn-(km + n)=0$，$m+kn - km - n=0$，$m - n - k(m - n)=0$，$(m - n)(1 - k)=0$，因为$k\neq1$，所以$m - n = 0$，即$m = n$。
【答案】：
(1)$x + 3y = 5$；
(2)$a = 1$，$b = 1$；
(3)$-\frac{1}{2}x + y=-1$；
(4)①$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$；②$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$；③$\begin{cases}x = 4\\y = 4\end{cases}$；$m = n$