《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. 如图,$∠ACD=70^{\circ },∠ACB=60^{\circ },∠B=50^{\circ }$. 求证:$AB// CD$.

证明：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ}-\angle B-\angle ACB = 180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=$70°，
因为$\angle ACD = 70^{\circ}$，所以∠A=∠ACD，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// CD$。

答案： 【解析】：
本题可先根据三角形内角和定理求出$\angle A$的度数，再结合已知条件通过平行线的判定定理来证明$AB// CD$。
### 步骤一：求$\angle A$的度数
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$。
已知$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，将其代入上式可得：
$\angle A=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$
### 步骤二：证明$AB// CD$
已知$\angle ACD = 70^{\circ}$，由步骤一可知$\angle A = 70^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ACD$。
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。
因为$\angle A$与$\angle ACD$是直线$AB$与$CD$被直线$AC$所截形成的内错角，且$\angle A=\angle ACD$，所以$AB// CD$。
【答案】：
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ}-\angle B-\angle ACB = 180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$，
因为$\angle ACD = 70^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ACD$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。

20. 如图,已知$∠1=∠BDE,∠2+∠3=180^{\circ }$.
(1)求证:$AD// EF;$
(2)若DA平分$∠BDE,EF⊥AF,∠1=40^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.

(1)证明：已知$∠1=∠BDE$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$。因为$AC// DE$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠2=∠ADE$。又因为$∠2+∠3=180^{\circ }$，等量代换可得$∠ADE+∠3=180^{\circ }$。再根据“同旁内角互补，两直线平行”，从而得出$AD// EF$。
(2)$70^{\circ }$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AD// EF$
已知$\angle1 = \angle BDE$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$。
因为$AC// DE$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$\angle2=\angle ADE$。
又因为$\angle2+\angle3 = 180^{\circ}$，等量代换可得$\angle ADE+\angle3 = 180^{\circ}$。
再根据“同旁内角互补，两直线平行”，从而得出$AD// EF$。
### $(2)$ 求$\angle BAC$的度数
因为$\angle1=\angle BDE$，$\angle1 = 40^{\circ}$，所以$\angle BDE = 40^{\circ}$。
由于$DA$平分$\angle BDE$，根据角平分线的定义，$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle BDE=\frac{1}{2}\times40^{\circ}=20^{\circ}$。
由$(1)$知$\angle2=\angle ADE$，所以$\angle2 = 20^{\circ}$。
因为$AD// EF$，$EF\perp AF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle DAB=\angle F = 90^{\circ}$。
最后根据$\angle BAC=\angle DAB-\angle2$，可得$\angle BAC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{70^{\circ}}$